Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 3: Hàm số liên tục

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 3: Hàm số liên tục

1. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN Theo em ở bức ảnh nào xe có thể chạy thông suốt? Hình 1 Hình 2 Cầu quay sông Hàn – Đà Nẵng Hình 3 Hình 4 Hố tử thần xuất hiện ở thành phố Fukuoka – Nhật Bản
2. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN Cho các đồ thị hàm số. Đồ thị nào được vẽ bằng một nét liền? Hình 5 Hình 6 Hình 7 Hình 8
3. LỚP LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 GIỚI HẠN 11 Chương IV 11 ĐẠI SỐ Chương 4: GIỚI HẠN Bài 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC I HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM II HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG III MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 1 Định lý 1 2 Định lý 2 3 Định lý 3
4. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN I Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa 1 Cho hàm số xác định trên khoảng 퐾 và 0 ∈ 퐾 . Hàm số được gọi là liên tục tại điểm 0 nếu lim = 0 → 0 Hàm số không liên tục tại điểm 0 được gọi là gián đoạn tại điểm 0 Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Bước 1: Tìm tập xác định D, kiểm tra 0 ∈ không? Bước 2: Tính 0 và lim → 0 Bước 3: So sánh 0 và lim . Rồi kết luận. → 0
5. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN I HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm số = tại = 3 −2 0 Bài giải Tập xác định: = 푅\{2} • Hàm số y = xác định trên 푅\{2}, do đó hàm số xác định tại 0 = 3 Ta có: lim = lim = 3 →3 →3 − 2 3 = 3 ⇒ lim = 3 = 3 →3 Vậy hàm số = liên tục tại 0 = 3
6. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN II GIỚI HẠN HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa 2 Hàm số = được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số = được gọi là liên tục trên một đoạn ; nếu nó liên tục khoảng ( ; ) và lim = , lim = → + → − Chú ý: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là một đường liền nét trên khoảng, đoạn đó.
7. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN III MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN Định lý 1 Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 푅 . Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng . Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng 2+1 3 b) = c) h(x) = 푠𝑖푛 a) = − + 1 −1 a) Tập xác định: = 푅 = 3 − + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên 푅. b) Tập xác định: = 푅\{1} 2+1 = liên tục trên khoảng −∞; 1 và 1; +∞ . −1 c) Tập xác định: = 푅 ℎ( ) = 푠𝑖푛 liên tục trên khoảng (−∞; +∞).
8. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN III MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN Định lý 2 Giả sử = và = là hai hàm số liên tục tại điểm 0. Khi đó: a) Các hàm số = + , = − , = . liên tục tại 0. ( ) b) Hàm số = liên tục tại nếu ( )≠ 0 ( ) 0 0 Ví dụ Nhận xét về tính liên tục của các hàm số sau tại điểm 0 = 0 푠푖푛 a) = 푠𝑖푛 + + 1 b) = 푠𝑖푛 . ( + 1) c) h(x) = +1 Bài giải Hàm số = 푠𝑖푛 liên tục tại điểm 0 ; hàm số = = + 1 liên tục tại điểm 0 và 0 = 1 ≠ 0 Áp dụng định lý 2 ta có các hàm số , , ℎ liên tục tại điểm 0 .
9. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN Ví dụ 2 2 2−2 ℎ𝑖 ≠ 1 Xét tính liên tục của hàm số ℎ = ൝ −1 2 ℎ𝑖 = 1 Bài giải Tập xác định: = 푅 2 2−2 • Dễ thấy ℎ = liên tục trên mỗi khoảng −∞; 1 và (1; +∞) −1 2 2−2 • Tại = 1, thì ℎ 1 = 2 và lim ℎ = lim = 2 →1 →1 −1 Vì lim ℎ = ℎ 1 nên hàm số đã cho liên tục tại = 1 →1 Vậy hàm số đã cho liên tục trên 푅
10. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN Phương pháp xét tính liên tục của hàm số trên TXĐ Bước 1: Tìm TXĐ và khẳng định các hàm đa thức, lượng giác, hữu tỉ liên tục trên các khoảng của TXĐ. Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm còn lại bằng định nghĩa. Bước 3: Kết luận.
11. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN Ví dụ 3 + +2 ℎ𝑖 > −1 Xét tính liên tục của hàm số f = ቐ +1 2 + 3 ℎ𝑖 ≤ −1 Bài giải Tập xác định: = 푅 Ta thấy hàm số liên tục trên các khoảng −∞; −1 và −1; +∞ . Tại x = −1 Ta có: −1 = 1 Ta lại có: lim = lim (2 + 3) = 1 →(−1)− →(−1)− + +2 2− −2 −2 3 lim = lim = lim = lim = →(−1)+ →(−1)+ +1 →(−1)+ ( +1)( − +2) →(−1)+ − +2 2 Do lim ≠ lim nên hàm số không liên tục tại x= -1 →(−1)− → −1 + Vậy hàm số gián đoạn tại x= -1 và hàm số liên tục trên các khoảng −∞; −1 và −1; +∞ .
12. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 11 Chương IV GIỚI HẠN 1) Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số được gọi là liên tục tại điểm 0 nếu lim = 0 → 0 Hàm số không liên tục tại điểm 0 được gọi là gián đoạn tại điểm 0 Hàm số = được gọi là liên tục trên một đoạn ; nếu nó liên tục khoảng ( ; ) và lim = , lim = → + → − 2) Hàm số liên tục trên một khoảng Định nghĩa: Định lý 1: Định lý 2: => Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên TXĐ của hàm số.