Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 3: Hàm số liên tục (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 3: Hàm số liên tục (Tiết 2)

1. LỚP BÀI 3 LỚP ĐS> HÀM SỐ LIÊN TỤC 11 Chương IV 11 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN Bài 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC I HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 1 Định nghĩa 1 II HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG 1 Định nghĩa 2 III MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 1 Định lý 1 2 Định lý 2 3 Định lý 3
2. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC III MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 3 풇 풙 풍풊ê풏 풕ụ 풕풓ê풏 [ ; ] ቊ 풇 . 풇 < ⇒ ∃ ∈ ; : 풇 = Ví dụ 1 Phương trình 풙 − 풙 + = có nghiệm trong khoảng nào? A. (-3;-2) B. (0;1) C. (-2;-1) D. (2;3) Bài giải Xét hàm số = 5 − 3 + 23 liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [−2; −1]. Ta có: (−2) = −3 ; (−1) = 25. Suy ra (−2). (−1) < 0. Vậy phương trình 풙 − 풙 + = có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2;-1).
3. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 2 Khẳng định nào sau đây đúng? 풙 + 풙+ A. Hàm số 풇 풙 = liên tục trên ℝ. B. Hàm số 풇 풙 = liên tục trên ℝ. 풙 − 풙 +풙+ 풙+ 풙+ C. Hàm số 풇 풙 = liên tục trên ℝ. D. Hàm số 풇 풙 = liên tục trên ℝ. 풙− 풙− Bài giải 2+1 A. Hàm số = có TXĐ là = ℝ\ ±1 nên không liên tục trên ℝ. 2−1 +2 B. Hàm số = có TXĐ là = ℝ nên liên tục trên ℝ. 2+ +1 +2 C. Hàm số = có TXĐ là = 2; +∞ nên không liên tục trên ℝ. −2 +1 1 1 D. Hàm số = liên tục trên = −1; ∪ ; +∞ . 2 −1 2 2
4. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 3 Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên ℝ? 풙 . 풚 = 풙 . 풚 = 풙 + 풙 푪.풚 = 풔풊풏 풙 푫. 풚 = 풙 + Bài giải TXĐ của hàm số = là = ℝ\{−1} . +1 Hàm số liên tục trên từng khoảng xác định là −∞; −1 푣à −1; +∞ Hàm số = không liên tục trên ℝ. Chọn B +1
5. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 4 Cho hàm số 풚 = 풇(풙) khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu 풇( ). 풇( ) thì hàm số liên tục trên khoảng ( ; ) C. Nếu hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] thì 풇( ). 풇( ) < D. Nếu hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] và 풇( ). 풇( ) < thì phương trình 풇(풙) = có nghiệm Bài giải Dựa vào định lí 3 ta chọn đáp án D
6. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 5 Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 풙 + 풙+ A. Hàm số 풚 = liên tục trên khoảng −∞; − 풗à − ; +∞ . 풙+ B. Hàm số 풚 = 풕 풏풙 liên tục trên R. C. Phương trình 풙 − 풙ퟒ + 풙 − = có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (− ; ). D. Hàm số 풚 = 풙 + 풔풊풏풙 liên tục trên R Bài giải Dựa vào định lí 1 ta chọn đáp án B
7. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 6 ; 풙 − khi 풙 ≠ Cho bốn hàm số 풇 풙 = 풙 − , ; 풇 풙 = 풙, 풇 풙 = 풕 풏 풙 , 풇ퟒ 풙 = ቐ 풙− ; khi 풙 = Hỏi trong bốn hàm số trên có bao nhiêu hàm số liên tục trên ℝ? A. 1. B. 2. C.3. D.4. Bài giải Hàm số 1 = − 1 và 3 = tan không có TXĐ là ℝ nên không liên tục trên ℝ. Hàm số 2 = là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ. Hàm số = 4 có TXĐ là ℝ và hàm số liên tục trên các khoảng −∞; 1 và 1; +∞ . Ta cần xét tính liên tục của hàm số = 4 tại = 1. 2−1 Ta có 4 1 = 2 và lim 4 = lim = lim + 1 = 2 = 4 1 Nên hàm số liên →1 →1 −1 →1 tục tại =1 do đó cũng liên tục trên ℝ. Vậy có 2 hàm số liên tục trên ℝ.
8. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 7 Cho hàm số 풇(풙) xác định trên đoạn [ ; ]. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Nếu hàm số 풇(풙) liên tục trên đoạn [ ; ] và 풇( ). 풇( ) > thì phương trình 풇(풙) = không có nghiệm trên khoảng ( ; ) B. Nếu 풇( ). 풇( ) thì phương trình 풇(풙) = không có nghiệm trên khoảng ( ; ) D. Nếu phương trình 풇(풙) = có nghiệm trong khoảng ( ; ) thì hàm số 풇(풙) phải liên tục trên ( ; ). Bài giải Chọn C. Vì ( ). ( ) > 0 nên ( ) 푣à ( ) cùng dương hoặc cùng âm. Mà ( ) liên tục, tăng trên [ ; ] nên đồ thị hàm ( ) nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên đoạn [ ; ] hay phương trình ( ) = 0 không có nghiệm trong khoảng ( ; ).
9. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 8 Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0;1)? . 풙 − 풙 + ퟒ = . 풙 − − 풙 − = 푪. 풙ퟒ − ퟒ풙 + = 푫. 풙 − 풙 + ퟒ = Bài giải Xét hàm số = 3 2017 − 8 + 4 Hàm số liên tục trên đoạn 0; 1 và 0 . 1 = 4. −1 = −4 Suy ra 0 . 1 < 0 Vậy phương trình 3 2017 − 8 + 4 = 0 có nghiệm trong khoảng 0; 1 .
10. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 9 Số nghiệm thực của phương trình 풙 − 풙 + = thuộc khoảng (− ; ) là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Bài giải Xét hàm số = 2 3 − 6 + 1 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn [−2; 2]. Ta có: (−2) = −3 ; (0) = 1; (1) = −3; (2) = 5 Suy ra (−2). (0) < 0; (0). (1) < 0; (1). (2) < 0. Vậy phương trình 2 3 − 6 + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (-2;2).
11. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 10 Cho phương trình 풙ퟒ − 풙 + 풙 + = . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (− ; ). B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (− ; ). C. Phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm trong khoảng (− ; ). D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( ; ). Bài giải Xét hàm số = 2 4 − 5 2 + + 1 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn [0; 2]. Ta có: (0) = 1 ; (1) = −1; (2) = 15. Suy ra (0). (1) < 0; (1). (2) < 0. Vậy phương trình 2 4 − 5 2 + + 1 = 0 1 có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng (−2; 2).
12. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 11 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m ) − 풙 − 풙 − = ) 풙 − 풙 − + 풙 − = )풙ퟒ + 풙 − 풙 − = 풅) − 풙 + + 풙 − 풙 − = Bài giải a) Xét hàm số = 1 − 2 5 − 3 − 1 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn [−1; 0]. Ta có: (0) = −1 0 Suy ra (−1). (0) < 0. Vậy phương trình 1 − 2 5 − 3 − 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−1; 0). hay phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. Tương tự b) PT có nghiệm trong (1;2) c) PT có nghiệm trong (0;2) d) PT có nghiệm trong (-2;-1)
13. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 12 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m ) 풐풔풙 + 풐풔 풙 = ) 풐풔풙 − = 퐬퐢퐧 풙 + Bài giải 3 a) Xét hàm số = 표푠 + 표푠2 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn ; 4 4 2 3 2 3 Ta có: = ; = − . Suy ra . < 0 4 2 4 2 4 4 3 Vậy phương trình 표푠 + 표푠2 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ; . 4 4 hay phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. Tương tự b) PT có nghiệm trong khoảng − ; 4 4
14. LỚP BÀI 3 ĐS> 11 Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Bước 1 : Tìm TXĐ D, kiểm tra xo thuộc D HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Bước 2: Tính 표 và lim → 표 Bước 3: So sánh và kết luận HỆ QUẢ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Áp dụng định lý 1 và 2 liên tục trên [a;b] CM PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ቊ . < 0 ⇒ ∃ ∈ ; : = 0