Bài tập thực hành Toán Lớp 11 - Bài 1: Dãy số - Bài 2: Cấp số cộng

Nội dung text: Bài tập thực hành Toán Lớp 11 - Bài 1: Dãy số - Bài 2: Cấp số cộng

1. BÀI 1: DÃY SỐ 1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u : ¥ * ¡ , n u(n) Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n : u(1),u(2),u(3),...,u(n),... Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số. Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1 ,u2 ,...,un ,... hoặc dạng rút gọn (un ) . 2. Người ta thường cho dãy số theo các cách: Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó Cho bằng công thức truy hồi, tức là: * Cho một vài số hạng đầu của dãy * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó. 3. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số (un ) gọi là dãy tăng nếu un un 1 n ¥ * Dãy số (un ) gọi là dãy giảm nếu un un 1 n ¥ * 4. Dãy số bị chặn Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho un M n ¥ * . Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực m sao cho un m n ¥ * . Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho un M n ¥ * . n2 3n 7 Ví dụ 1. Cho dãy số (u ) được xác định bởi u . Viết năm số hạng đầu của dãy; n n n 1 Lời giải. Ta có năm số hạng đầu của dãy 12 3.1 7 11 17 25 47 u , u ,u ,u 7,u 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 u1 1 Ví dụ 2. Cho dãy số (un ) xác định bởi: . Viết năm số hạng đầu của dãy; un 2un 1 3 n 2 Lời giải. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1 1; u2 2u1 3 5 ; u3 2u2 3 13; u4 2u3 3 29 u5 2u4 3 61 . 3n2 2n 1 Ví dụ 3. Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n n 1 5n2 10n 2 Lời giải. Ta có: u u 0 nên dãy (u ) là dãy tăng n 1 n n 1 n 2 n CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2n 1 Bài 1. Cho dãy số (u ) có số hạng tổng quát u . n n n 2 1. Viết năm số hạng đầu của dãy số. 2. Tìm số hạng thứ 100 và 200 3. Số 167 có thuộc dãy số đã cho hay không 84 4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên.
2. u1 1,u2 3 Bài 2. Cho dãy số (an ) xác định bởi: . un 1 5un 6un 1 n 2 1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy n 1 n 1 2. Chứng minh rằng: un 5.3 6.2 , n 1 . u1 1 Bài 3. Cho dãy số (un ) xác định bởi: . Viết năm số hạng đầu của dãy. un 2un 1 3 n 2 A. 1;5;13;28;61. B. 1;5;13;29;61. C. 1;5;17;29;61. D. 1;5;14;29;61. BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai) 2. Số hạng tổng quát: un u1 (n 1)d với n 2 u u 3. Tính chất các số hạng: u k 1 k 1 với k 2 k 2 n(u u ) n2u (n 1)d  4. Tổng n số hạng đầu tiên: S u u ... u 1 n = 1 n 1 2 n 2 2 Bài 1: Dãy số (un ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: 1. un 2n 3 2. un 3n 1 2 3. un n 1 2 4. u n n Hướng dẫn 1. Ta có: un 1 un 2(n 1) 3 (2n 3) 2 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d 2 . 2. Ta có: un 1 un 3(n 1) 1 ( 3n 1) 3 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d 3. 2 2 3. Ta có: un 1 un (n 1) 1 (n 1) 2n 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (un ) không phải là cấp số cộng. 2 2 2 4. Ta có: u u phụ thuộc vào n n 1 n n 1 n n(n 1) Vậy dãy (un ) không phải là cấp số cộng. 1 16 Bài 2: Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được cấp số cộng có 6 số hạng. 3 3 Hướng dẫn
3. Chọn B. 1 1 4 4 7 u u 1 ;u 1 1 3 16 2 3 3 3 3 3 Ta có u1 5d d 1 . 16 3 10 13 u u ;u 6 3 4 3 5 3 Bài 3: Cho cấp số cộng un có u4 12;u14 18 . Tìm u1, d của cấp số cộng? Hướng dẫn u4 u1 3d u1 3d 12 d 3 Ta có : . u14 u1 13d u1 13d 18 u1 21 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Câu 1: Cho cấp số cộng un cóu4 12;u14 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S = 24.B. S = –24. C. S = 26.D. S = –25. 1 1 3 5 Câu 2: Cho dãy số u : ; - ; - ; - ;... Khẳng định nào sau đây sai? n 2 2 2 2 A. (un) là một cấp số cộng.B. có d 1. C. Số hạng u20 19,5. D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 . u7 u3 8 Câu 3: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tìm u1,d ? u2.u7 75 d 2 d 2 d 2 d 2 A. B. C. D. u 2,u 17 u 3,u 7 u 3,u 17 u 3,u 17 1 1 . 1 1 . 1 1 . 1 1 . Câu 4: Cho cấp số cộng un có u1 123 và u3 u15 84 . Biết rằng tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng 18, tìm n . A. n 34 . B. n 35 . C. n 36 . D. n 37 . u31 u34 11 Câu 5: Cho cấp số cộng (un) có công sai d 0 ; 2 2 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. u31 u34 101 A. u 3n 9 B. u 3n 2 C. u 3n 92 D. u 3n 66 n . n . n . n . Câu 6: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ? A. 2b2 ,a,c2 .B. . 2b, 2a, C.2c .D. 2b,a,c . 2b, a, c Câu 7: Xác định x để 3 số :1 2x;2x2 1; 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? 3 A.x 3 . B. x . 2 3 C. x . D. Không có giá trị nào của x . 4 Câu 8: Phương trình x3 3x2 9x m 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m 16 B. m 11 C. m 13 D. m 12
4. BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: công bội) n 1 2. Số hạng tổng quát: un u1.q với n 2 2 3. Tính chất các số hạng: uk uk 1.uk 1 với k 2 Sn nu1 vôùi q 1 4. Tổng n số hạng đầu tiên: n u1(1 q ) Sn vôùi q 1 1 q 2 Bài 1: Cho cấp số nhân có u 3 , q . Tính u ? 1 3 5 4 4 2 16 Hướng dẫn Ta có: u5 u1.q 3 . 3 27 2 96 Bài 2: Cho cấp số nhân có u 3 , q . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 1 3 243 Hướng dẫn 96 Giả sử số là số hạng thứ n của cấp số này. 243 n 1 n 1 96 2 96 Ta có: u1.q 3 n 6 . 243 3 243 96 Vậy số là số hạng thứ 6 của cấp số. 243 u u u u u 11 1 2 3 4 5 Bài 2: Cho CSN (un ) thỏa: 82 u u 1 5 11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 2. Tính tổng S2011 1 3. Trên khoảng ;1 có bao nhiêu số hạng của cấp số. 2 Hướng dẫn 1. Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có: 39 2 3 39 u2 u3 u4 u1 q q q 11 11 82 4 82 u1 u5 u1 1 q 11 11 q4 1 82 Suy ra: 39q4 82q3 82q2 82q 39 0 q3 q2 q 39 1 (3q 1)(q 3)(13q2 16q 13) 0 q ,q 3 3 1 81 81 1 q u u . 3 1 11 n 11 3n 1
5. 1 3n 1 q 3 u u . 1 11 n 11 q2011 1 2. Ta có: S u 2011 1 q 1 1 243 1 q S2011 1 2011 3 22 3 1 2011 q 3 S2011 3 1 22 3n 1 1 3. Với q 3 ta có: un ;1 n 3 nên có một số hạng của dãy 11 2 1 1 1 Với q ta có: un n 5 ;1 n 3 nên có một số hạng của dãy. 3 11.3 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1 Câu 1. Cho cấp số nhân u với u ; u 32 . Tìm q ? n 1 2 7 1 A. q .B. . q 2 C. .D. q . 4 q 1 2 Hướng dẫn n 1 6 6 q 2 Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un u1q u7 u1.q q 64 . q 2 Câu 2. Cho cấp số nhân un với u1 2; q=-5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. 10; 50; 250; 2 5 n 1 .B. 10 .; 50; 250; 2. 5n 1 C. 10; 50; 250; 2 .5n . D. 10; 50; 250; 2 5 n 1 . Hướng dẫn Ta có u2 u1.q 2 . 5 10; u3 u2.q 10. 5 50; u4 u3.q 50. 5 250 . n 1 n 1 Số hạng tổng quát un u1.q 2 . 5 . Câu 3. Cho cấp số nhân un với u1 4; q 4. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. 16; 64; 256; 4 n .B. . 16; 64; 256; 4 n C. 16; 64; 256; 4 4 n . D. 16; 64; 256; 4n . Hướng dẫn Ta có u2 u1.q 4. 4 16; u3 u2.q 16. 4 64; u4 u3.q 64. 4 256 . n 1 n 1 Số hạng tổng quát un u1.q 4. 4 . Câu 4. Cho cấp số nhân un với u1 1; q=0,00001 . Tìm q và un ? 1 1 1 A. B.q ; u q ; u 10n 1 10 n 10n 1 10 n 1 1 1 ( 1)n C. q ; u D. q ; u 10 n 10n 1 10 n 10n 1 Hướng dẫn 1 Ta có u u .q5 0,00001 1.q5 q . 6 1 10 n 1 n n 1 1 1 Số hạng tổng quát un u1.q 1. n 1 . 10 10
6. 1 1 Câu 5. Cho cấp số nhân u với u 1; q . Số là số hạng thứ mấy của u ? n 1 10 10103 n A. Số hạng thứ 103B. Số hạng thứ 104 C. Số hạng thứ 105 D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Hướng dẫn n 1 n 1 1 1 Ta có un u1.q 103 1. n 1 103 n 104 . 10 10 Câu 10. Cho cấp số nhân un với u1 3; q= 2. Số 192 là số hạng thứ mấy của un ? A. Số hạng thứ 5.B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Hướng dẫn n 1 n 1 n 1 Ta có un u1.q 192 3. 2 2 64 n 1 6 n 7 . 1 Câu 6. Cho cấp số nhân u với u 3; q . Số 222 là số hạng thứ mấy của u ? n 1 2 n A. Số hạng thứ 11B. Số hạng thứ 12 C. Số hạng thứ 9 D. Không là số hạng của cấp số đã cho Hướng dẫn n 1 n 1 n 1 1 1 Ta có un u1.q 222 3. 74 . Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho. 2 2 u1 u2 u3 u4 15 Câu 12: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết: 2 2 2 2 u1 u2 u3 u4 85 A. u1 1,u1 2 B. u1 1,u1 8 C. u1 1,u1 5 D. u1 1,u1 9 Hướng dẫn q4 1 2 3 u1 15 u1(1 q q q ) 15 q 1 Ta có: u2 1 q2 q4 q6 85 8 1 2 q 1 u1 2 85 q 1 4 2 2 4 q 2 q 1 q 1 45 (q 1)(q 1) 45 8 4 1 q 1 q 1 17 (q 1)(q 1) 17 q 2 Từ đó ta tìm được u1 1,u1 8 . u u u u u 11 1 2 3 4 5 Câu 7: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết: 82 u u 1 5 11 1 81 1 81 1 81 2 81 A. u ,u B. u ,u C. u ,u D. u ,u 1 11 1 11 1 12 1 12 1 13 1 13 1 11 1 11 Hướng dẫn 2 3 4 2 39 u1 1 q q q q 11 u1q(1 q q ) 11 Ta có: 4 82 4 82 u1(1 q ) u (1 q ) 11 1 11 q4 1 82 1 q 3,q . q3 q2 q 39 3
7. Câu 8: Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: un 2n A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn un 1 n 1 Ta có: phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) không phải là cấp số nhân. un n n Câu 9: Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: un 4.3 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn n 1 un 1 4.3 Ta có: n 3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) là một cấp số nhân với công bội q 3 . un 4.3 Câu 10: Cho cấp số nhân an có a1 3 và a2 6 . Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho. A. a5 24 . B. a5 48 . C. a5 48 .D. a5 24 .