Đề cương ôn tập môn Toán 11 - Tuần 14 - Tiết 27+28: Nhị thức Niu-tơn

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán 11 - Tuần 14 - Tiết 27+28: Nhị thức Niu-tơn

1. ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG 2 §3. NHỊ THỨC NIU- TƠN Thời lượng dự kiến: 2 tiết Tiết 27,28. NHỊ THỨC NIU- TƠN A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN 1. Công thức nhị thức Niu-ơn 2 2 3 3 * VD MỞ ĐẦU: Khai triển: a b , a b , a b , a b . Lời giải 2 a b a22 ab b 2 . 2 a b a22 ab b 2 . 3 a b a33 a 2 b 3 ab 2 b 3 . 3 a b a33 a 2 b 3 ab 2 b 3 . Vậy khi số mũ tăng lên thì ta sẽ khai triển thế nào? Nội dung tiếp theo sẽ giải quyết vấn đề này. * Công thức: n 0n 1 n 1 n 1 n 1 n n - Công thức dạng khai triển: ab Can Cab n ... Cab n Cb n 1 . n n k nk k . - Công thức dưới dạng tổng quát: a b  Cn a b k 0 * Hệ quả: n0 1 2 n -Với a b 1 ta có : 2 CCCn n n ... C n 0 1 kk n n -Với a 1, b 1 ta có: 0 CCn n ... 1 C n ... 1 C n . * Chú ý: Trong biểu thức ở vế trái của công thức 1 : a) Số các hạng tử là n 1 . b) Các hạng tử của số mũ a giảm dần từ n đến 0 , số mũ của b tăng dần từ 0 đến n , nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n (qui ước a0 b 0 1). c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. k nk k d) Số hạng tổng quát là: Tk 1 C n a b với 0 k n đó là số hạng đứng hàng thứ k 1 trong khai triển. 2. Ví dụ 5 *VD1: Khai triển: a b với a 0, b 0 . Lời giải Hệ số : 1 5 10 10 5 1 Trang 1/11
2. Lũy thừa a : a5 a4 a3 a2 a1 a0 Lũy thừa b : b0 b1 b2 b3 b4 b5 Nhân theo cột 5 050 141 232 323 414 505 a b Cab5 Cab 5..... Cab 5 Cab 5 Cab 5 Cab 5 . 1.a5 .1 5. a 4 . b 10. a 3 . b 2 10. a 2 . b 3 5. a . b 4 1.1. b 5 . a55 a 4 b 10 a 3 b 2 10 a 2 b 3 5 ab 4 b 5 . 6 *VD2: Khai triển: x 2 với x 0 . Lời giải Hệ số : 1 6 15 20 15 6 1 Lũy thừa x : x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0 Lũy thừa 2 : 20 21 22 23 24 25 26 Nhân theo cột 6 060 151 242 333 424 515 606 x 2 Cx62 Cx 6 .2 Cx 6 .2 Cx 6 .2 Cx 6 .2 Cx 6 .2 Cx 6 .2 . 1.xx6 .1 6. 5 .2 15. x 4 .4 20. x 3 .8 15. x 2 .16 6. x .32 1.1.64 . xxx612 5 60 4 160. x 3 240 x 2 192 x 64 . 5 *VD3: Khai triển: 3x 4 với x 0 . Lời giải 3x 4 5 050 1 41 2 32 3 23 4 14 5 05 Cx5 3 4 Cx 5 3.4 Cx 5 3.4 Cx 5 3.4 Cx 5 3.4 Cx 5 3.4 243x5 1620 x 4 4320 x 3 5760 x 2 3840 x 1024 . 0 2 4 1 3n 1 *VD4: Chứng minh rằng với n 4 , ta có: CCCn n n.... CC n n .... 2 . Lời giải 0 2 4 Đặt AC n C n C n .... 1 3 BC n C n .... 0 1 2 n n Ta thấy: ABCCC n n n ... C n 2 ( dựa vào hệ quả ). 0 1 kk n n ABCC n n... 1 C n ... 1 C n 0 ( dựa vào hệ quả ). Cộng vế theo vế ta được : 2A 2n A 2 n 1 1 . Trừ vế theo vế ta được : 2B 2n B 2 n 1 2 . Từ 1 và 2 ta có điều phải chứng minh. II. TAM GIÁC PA- XCAN. Trong công thức nhị thức Newton cho n 0 ;1 ; 2 ;.... và xếp các hệ số thành dòng ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa-xcan. Trang 2/11
3. k 1 k k * Nhận xét: Từ công thức Cn 1 C n 1 C n suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó. 2 1 2 Chẳng hạn: C5 C 4 C 4 4 6 10 . B. LUYỆN TẬP Câu 1. Khai triển: 5 6 4 2 5 x 2 2 a) 2x 1 . b) 2 3x . c) 2 . d) x . 3 x Lời giải 4 04 1 3 2 2 2 3 3 4 4 a) 2x 1  CxCx4 2 4 2 .1 Cx 4 2 .1 CxC 4 .2 .1 4 .1 .  16x4 32 x 3 24 xx 2 8 1. 2 5 0514 22322 32 2 3 4 2 4 52 5 b) 2 3x  CC5.2 5 .2 . 3 xC 5 .2 . 3 xC 5 .2 . 3 xC 5 .2. 3 xCx 5 3 32 240x2 720 x 4 1080 xxx 6 810 8 243 10 . 5 5 4 3 2 x 0 xx 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 5 c) 2  CC5. 5 . .2 C 5 . .2 C 5 . .2 CC 5 . .2 5 .2 3 3 3 3 3 3 1 10 40 80 80 x5 x 4 x 3 x 2 x 32 . 243 81 27 9 3 Trang 3/11
4. 6 2 3 2 2 0 26 1 2 5 2 2 2 4 2 3 2 3 2 d) x  CxCx6....... 6 Cx 6 Cx 6 x x x x 4 5 6 4 22 2 5 2 2 6 2 Cx6..... Cx 6 C 6 . x x x 192 64  x1212 x 9 60 x 6 160 x 3 240 x3 x 6 24 3 Câu 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: x . x Lời giải k nk k Ta có: Số hạng tổng quát: Tk 1 C n a b với 0 k nk , . k24 kk Tk 1 C 24 a b với 0 k 24, k . k k24 k 3 k24 2 k k Tk 1 Cx 24 C24 x 3 . x Số hạng không chứa x nên 24 2k 0 k 12 ( nhận). 12 24 2.1212 12 12 Với k 12 ta có: TCx12 1 24 3 TC 13 24 .3 . 24 3 12 12 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển: x là C24 .3 . x Tiết 28. LUYỆN TẬP A. KIỂM TRA BÀI CŨ Câu 1. Trình bày công thức và hệ quả của nhị thức Niu- tơn? Câu 2. Khai triển: x 3 5 . 24 3 Câu 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: x x B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK Bài 1/ 57. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu- tơn: 6 5 6 1 a) a 2 b b) a 2 c) x x Lời giải 5 0 5 1 4 2 32 3 2 3 4 4 5 5 a) a 2 b  CaCa5 5 2 bCa 5 2 b Ca 5 2 b Cab 5 2 C 5 2 b a510 a 4 b 40 a 3 b 2 80 a 2 b 3 80 ab 4 32 b 5 . b) 6 0 1 2 3 0 6 1 5 2 4 3 3 a 2 C6 a 2 C 6 a . 2 C 6 a . 2 C 6 a . 2 4 5 6 4 2 5 1 6 0 C6 a. 2 C 6 a . 2 C 6 a . 2 . a66 2 a 5 30 a 4 40 2 a 3 60 a 2 24 2 a 8 . 6 0 1 2 3 1 0 6 1 1 5 1 2 4 1 3 3 1 c) x Cx6 Cx 6... Cx 6 Cx 6 x x x x x Trang 4/11
5. 4 5 6 4 2 1 5 1 1 6 0 1 Cx6... Cx 6 Cx 6 . x x x 15 6 1 x66 x 4 15 x 2 20 . x2 x 4 x 6 6 3 2 Bài 2 /58. Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức: x 2 với x 0 . x Lời giải k nk k Ta có: Số hạng tổng quát: Tk 1 C n a b với 0 k nk , . k6 kk Tk 1 C 6 a b với 0 k 6, k . k k6 k 2 k6 kk 2 k kk6 3 k Tk 1 Cx 6 2 Cx6 2 x C6 2 x . x Hệ số của x3 nên 6 3k 3 k 1( nhận). 1 1 6 3.1 3 Với k 1 ta có: TCx1 1 62 T 2 12 x . 6 3 2 Vậy hệ số của x trong khai triển của biểu thức: x 2 là 12. x n Bài 3 /58. Biết hệ số của x2 trong khai triển của 1 3x là 90 . Tìm n . Lời giải k nk k Ta có: Số hạng tổng quát: Tk 1 C n a b với 0 k nk , . k nk k knk k k TCk 1 n 1 3 x Cn 1 3 x với 0 k nk , . Hệ số của x2 là 90 nên k 2 . Với k 2 ta có hệ số của x2 : 2 n! n n 1 C 21n 2 3 90 9C 2 90 C 2 10 10 10 . n n n 2! n 2! 2 n 5 N n2 n 20 0 . n 4 L Vậy n 5 là giá trị cần tìm. 8 3 1 Bài 4 /58. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: x với x 0 . x Lời giải k nk k Ta có: Số hạng tổng quát: Tk 1 C n a b với 0 k n . k8 kk Tk 1 C 8 a b với 0 k 8, k . k k 3 8 k 1 k24 3 k kk k24 4 k Tk 1 Cx 8 Cx8 . x 1 C8 x . x Số hạng không chứa x nên 24 4k 0 k 6 ( nhận). 6 24 4.6 Với k 6 ta có: T6 1 Cx 8 T 7 28. 8 3 1 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: x là 28. x Bài 5 /58. Từ khai triển biểu thức 3x 4 17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. Lời giải Trang 5/11
6. 17 017 1 16k 17 k k 17 17 Ta có: 3x 4 CxCx17.3 17 .3 .4... Cx 17 .3 .4 ... C 17 .4 với 0 k 17 . 17 0 17 17 1 16 16kk 17 k 17 k 17 17 3x 4 CxC17.3 17 .3 4 . xC ... 17 .3 . 4 x ... C 17 . 4 . Đặt là tổng hệ số của đa thức khai triển : 0 17 1 16k 17 k k 17 17 SCC 17.3 17 .3 4 ... C 17 .3 . 4 ... C 17 . 4 3.1 4 17 1. Vậy S 1. Bài 6 /58. Chứng minh rằng: a) 1110 1 chia hết cho 100. b) 101100 1 chia hết cho 10000. 100 100 c) 10 1 10 1 10 là một số nguyên. Lời giải a) 1110 1 chia hết cho 100. Ta có: 1110 10 1 10 Sử dụng khai triển nhị thức Niu- tơn: 10 010 19 282 9 9 1010 10 1 CCC10.10 10 .10 .1 10 .10 .1 ... CC 10 .10.1 10 .1 . 0 10 1 9 2 8 9 10 C10.10 C 10 .10 C 10 .10 ... 10.10 1 ( Do C10 10, C 10 1). 10 0 10 1 9 2 8 11 1 C10.10 C 10 .10 C 10 .10 ... 10.10 . 0 8 1 7 2 6 100 C10 .10 C 10 .10 C 10 .10 ... 1 . Do đó 1110 1 chia hết cho 100 (đpcm). b) 101100 1 chia hết cho 10000. Ta có: 101100 100 1 100 Sử dụng khai triển nhị thức Niu- tơn: 100 0 100 1 99 2 98 2 99 99 100 100 100 1 CCC100.100 100 .100 .1 100 .100 .1 ... CC 100 .100.1 100 .1 . 0 100 1 99 2 98 99 100 C100.100 C 100 .100 C 100 .100 ... 100.100 1 ( Do C100 100, C 100 1). 100 0 100 1 99 2 98 101 1 C100.100 C 100 .100 C 100 .100 ... 100.100. 0 98 1 97 2 9 10000 C100 .100 C 100 .100 C 100 .100 ... 1 . Do đó 101100 1 chia hết cho 10000 (đpcm). 100 100 c) 10 1 10 1 10 là một số nguyên. Sử dụng khai triển nhị thức Niu- tơn: 100 2 99 100 0 100 1 99 2 98 99 100 + 1 10 CC100.1 100 .1 . 10 C 100 .1 . 10 ... C 100 .1. 10 C 100 . 10 2 99 100 0 1 2 99 100 CC100 100. 10 C 100 . 10 ... C 100 . 10 C 100 . 10 100 2 99 100 0 100 1 99 2 98 99 100 + 1 10 CC100.1 100 .1 . 10 C 100 .1 . 10 ... C 100 .1. 10 C 100 . 10 2 3 99 100 0 1 2 3 99 100 CC100 100. 10 C 100 . 10 C 100 . 10 ... C 100 . 10 C 100 . 10 100 100 3 97 99 1 10 1 10 2 CC1 . 10 3 . 10 ... C 97 . 10 C 99 . 10 100 100 100 100 Trang 6/11
7. 2 96 98 2. 10 CC1 3 . 10 ... C 97 . 10 C 99 . 10 . 100 100 100 100 2 96 98 1 3 97 99 Đặt ACC 100 100. 10 ... C 100 . 10 C 100 . 10 1 3 9748 99 49 ACC 100 100.10... C 100 . 10 C 100 . 10 . Ta thấy tất cả các số hạng của biểu thức A là số nguyên nên A là số nguyên. 100 100 10 1 10 1 10 10.2 10A 20 A . 100 100 Vậy 10 1 10 1 10 là một số nguyên (đpcm). II. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. [Mức độ 1] Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton x y 5 . A. x5 5 xy 4 10 xy 3 2 10 xy 2 3 5 xy 4 y 5 . B. x5 5 xy 4 10 xy 3 2 10 xy 2 3 5 xy 4 y 5 . C. x5 5 xy 4 10 xy 3 2 10 xy 2 3 5 xy 4 y 5 . D. x5 5 xy 4 10 xy 3 2 10 xy 2 3 5 xy 4 y 5 . Lời giải Chọn A. Ta có x y 5 = x5 5 xy 4 10 xy 3 2 10 xy 2 3 5 xy 4 y 5 . Câu 2. [Mức độ 1] Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 3 2x 2019 có bao nhiêu số hạng? A. 2019 . B. 2018 . C. 2020 . D. 2021. Lời giải Chọn C n Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn a b có n 1 số hạng. 2019 Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 3 2x có 2020 số hạng. Câu 3. [Mức độ 1] Từ khai triển biểu thức x 1 10 thành đa thức .Tổng các hệ số của đa thức là A. 1023 . B. 512 . C. 1024 . D. 2048 . Lời giải Chọn C 10 10 k k Xét khai triển fxx( ) 1  Cx10 . với 0 k 10, k . k 0 10 Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S f (1) 1 1 210 1024. 10 2 2 2 Câu 4. [Mức độ 3] Hệ số của x trong khai triển của biểu thức x bằng x A. 3124 . B. 2268 . C. 13440 . D. 210 . Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát của khai triển: Trang 7/11
8. k k210 k 2 kkk 20 3 TCxk 1 10 Cx 10 2 0 kk 10, . x Số hạng chứa x2 ứng với: 20 3k 2 k 6 . 6 6 Hệ số cần tìm là: 2C10 13440 . 10 2 Câu 5. [Mức độ 3] Số hạng không chứa x trong khai triển x là x 5 5 5 5 5 5 A. C10 . B. C10.2 . C. C10 . D. C10.2 . Lời giải Chọn D 10 2 Số hạng tổng quát trong khai triển x là: x k kk10 2 kkk 10 2 TCxk 1 10. Cx 10 .2 với 0 k 10, k x Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với 10 2k 0 k 5. 5 5 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C10.2 . 0 1 2 n Câu 6. [Mức độ 1] Cho n là số nguyên dương. Khi đó tổng SCCC n n n ... C n là A. 3n . B. 2n . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn B n 0n 1 n 1 2 n 2 n 0 Xét: 1 x CxCxn n Cx n ... Cx n . n0 1 2 n Chọn x 1 ta được: 2 CCCn n n ... C n . Vậy S 2n . Câu 7. [Mức độ 2] Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong n 1 khai triển x bằng 4. 3 A. 8 . B. 17 . C. 9 . D. 4 . Lời giải Chọn C Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có n2 n 10n 1 1 n 1 2 1 n 2 n 1 x CxCn n xC n x ... C n . 3 3 3 3 2 2 1 n 2 số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là Cn x . 3 2 2 1 n ! 1 Yêu cầu bài toán Cn 4 . 4 n 9 . 3 2! n 2 ! 9 Do n nên ta chọn n 9 thỏa mãn. 0 1 2 3 n n Câu 8. [Mức độ 1] Tính tổng SCC n3 n 3 C n ... 3 C n . A. S 3n . B. S 2n . C. S 3.2n . D. S 4n . Lời giải Chọn D Trang 8/11
9. Khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 x n , ta có n 0 1 2 2 n n 1 x CCxCxn n n  Cx n . 0 1 2 3 n nn n Cho x 3 , ta được CCCn 3 n 3 n ... 3 C n 1 3 4 . 12 12 Câu 9. [Mức độ 4] Khai triển đa thức Px 1 2 x aax0 1 ... ax 12 . Tìm hệ số ak 0 k 12, k lớn nhất trong khai triển trên 8 8 9 9 10 10 8 8 A. C12 2 . B. C12 2 . C. C12 2 . D. 1 C12 2 . Lời giải Chọn A Khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 2x 12 , ta có 12 12 12 kk kkk 1 2x  Cx12 2  Cx 12 2 . k 0 k 0 k k Suy ra ak C12 2 . 1 2 kk k 1 k 1 ak a k 1 2C12 2 C 12 12 k k 1 23 26 Hệ số ak lớn nhất khi k . a a 2kkC 2 k 1 C k 1 2 1 3 3 k k 1 12 12 k12 k 1  0 k 12 k 8. Vậy hệ số lớn nhất là a C82 8 . k 8 12 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (phần này không làm PPT) Câu 1. [Mức độ 1] Trong khai triển 2a 1 6 , tổng ba số hạng đầu là: A. 2a6 6 a 5 15 a 4 . B. 2a6 15 a 5 30 a 4 . C. 64a6 192 a 5 480 a 4 . D. 64a6 192 a 5 240 a 4 . Lời giải Chọn D. 6 0 6 6 1 5 5 2 4 4 Ta có: 2a 1 C6 .2 a C 6 .2 a C 6 .2 a ... Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a6 192 a 5 240 a 4 . 10 Câu 2. [Mức độ 1] Ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển của 1 2x là A. 1;45x ;120 x2 . B. 1;4x ;4 x2 . C. 1;20x ;180 x2 . D. 10; 45x ;120 x2 . Lời giải Chọn C. 10 10 k Ta có k10 k 0 1 2 2 1 2x C10 12 xCCxCx 10 1 0  (2)( 10  2 )  k 0 1 20x 180 x2 ... Vậy 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x là: 1;20x ;180 x2 . 11 8 3 Câu 3. [Mức độ 1] Trong khai triển x y , hệ số của số hạng chứa x. y là Trang 9/11
10. 3 3 5 8 A. C11 . B. C11 . C. C11 . D. C11 . Lời giải Chọn B. k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là kk11 k với . TCxk 1 11. . 1 . y 0 k 11, k Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. 8 3 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa x. y là: C11 . Câu 4. [Mức độ 1] Trong khai triển 2x 1 10 , hệ số của số hạng chứa x8 là: A. 11520 . B. 45 . C. 256 . D. 11520 . Lời giải Chọn D. k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là k10 k 10 k với . TCk 1 10.2 . x . 1 0 k 10, k Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10 k 8 k 2 . 8 2 8 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là: C10.2 11520 . 5 Câu 5. [Mức độ 1] Trong khai triển 2a b , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: A. 80 . B. 80 . C. 10 . D. 10. Lời giải Chọn B. 50 5 1 4 2 3 2 Ta có: 2a b C5 2 a C 5 2 a b C 5 2 a b ... 2 Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C5 .8 80 . 15 1 Câu 6. [Mức độ 3] Tính số hạng không chứa x trong khai triển x 2 2x 3300 3300 3003 3003 A. . B. . C. . D. . 64 64 32 32 Lời giải Chọn C. 15 k k 115 1 15 1 Ta có: x Cxkk().15 Cx k 15 3 k với 0 k 15, k . 215 2  15 2xk 0 2 x k 0 2 k k 1 15 3 k Số hạng tổng quát là TCk 1 15 x . 2 Để số hạng không chứa x ta chọn k sao cho:15 3k 0 k 5 . 15 5 1 1 3003 Vậy số hạng không chứa trong khai triển là: 5 . x x 2 C15 2x 2 32 10 4 1 Câu 7. [Mức độ 3] Tìm hệ số của x trong khai triển x , x 0 . x Trang 10/11
11. A. 120. B. 120 . C. 210 . D. 210 . Lời giải Chọn B. k 1 k Số hạng tổng quát của khai triển là kk10 kk 10 2 với . Cx10 1 Cx 10 0 k 10, k x 3 3 Số mũ 10 2k 4 k 3. Vậy hệ số cần tìm là: 1 C10 120. n Câu 8. [Mức độ 3] Biết hệ số của x2 trong khai triển của 1 3x là 90 . Tìm n . A. n 5 . B. n 8 . C. n 6 . D. n 7 . Lời giải Chọn A. k Số hạng tổng quát thứ là k kkk với . k 1 Tk 1 Cx n 3 Cx n 3 0 k nk , Vì hệ số của x2 nên cho k 2 . n 5 n 2 2 2 n n 1 Khi đó ta có Cn 3 90 Cn 10 10 . 2 n 4 l Vậy n 5 . 4 n * Câu 9. [Mức độ 3] Biết rằng hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton 2 x , n bằng 280 , tìm n ? A. n 8 . B. n 6 . C. n 7 . D. n 5. Lời giải Chọn C. n n k Ta có knk k với . 2 xC n 2 . 1 . x 0 k nk , k 0 Hệ số của x4 tương đương với k 4 là 4 n n 1 n 2 n 3 C 42n 4 . 1 280 2n 4 280 n 24 6720 26 .3.5.7 n n1 n 2 n 3 . 2n 4 2 n 4 Vì n là số tự nhiên nên n 4 6 4 n 10 . Lập bảng giá trị được n 7 . Trang 11/11