Đề cương ôn tập môn Toán 11 - Tuần 5 - Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán 11 - Tuần 5 - Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

1. § 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Tuần 5 tiết 10 _I NỘI DUNG TRỌNG TÂM 1. Phương trình sin x a (1) + a 1: phương trình 1 vô nghiệm. + a 1: Gọi sin a , phương trình 1 có nghiệm là: x k2 sin x sin ;k ¢ x k2 2. Phương trình cos x a (2) + a 1: phương trình 2 vô nghiệm. + a 1: Gọi cos a , phương trình 2 có nghiệm là: x k2 , k ¢ . x k2 3. Phương trình tan x a (3) Điều kiện của phương trình là: x k k ¢ . 2 - Gọi x1 là hoành độ giao điểm( tan x a.)thỏa mãn điều kiện x . 1 2 1 2 Kí hiệu x1 arctan a . Khi đó, nghiệm của phương trình là: x arctan a k k ¢ * Chú ý: a) Phương trình tan x tan x k (k ¢ ) Tổng quát: tan f x tan g x f x g x k (k ¢ ) 4. Phương trình cot x a (4) - Điều kiện của phương trình là: x k , (k ¢ ) - Gọi x1 là hoành độ giao điểm( cot x1 a. )thỏa mãn điều kiện 0 x1 . Kí hiệu x1 arccot a . Khi đó, nghiệm của phương trình là: x arccot a k k ¢
2. * Chú ý: a) Phương trình cot x cot x k (k ¢ ) Tổng quát: cot f x cot g x f x g x k (k ¢ ) II BÀI TẬP A TỰ LUẬN Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG sin x = a x Câu 1. Nghiệm của phương trình sin = 1 là 2 x x p Lời giải. Phương trình: sin = 1 Û = + k2p Û x = p + k4p (k Î ¢ ). 2 2 2 æ 1ö 1 Câu 2. Nghiệm của phương trình sinç4x + ÷= là èç 2ø÷ 3 é 1 1 ê4x + = arcsin + k2p æ 1ö 1 ê 2 3 Lời giải. Phương trình: sinç4x + ÷= Û ê . èç 2ø÷ 3 ê 1 1 ê4x + = p - arcsin + k2p ëê 2 3 æ pö 1 Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sinç2x + ÷= trên đường èç 3ø÷ 2 tròn lượng giác là? Lời giải. Phương trình é p p é p ê2x + = + k2p êx = - + kp æ pö p ê 3 6 ê 12 Û sinç2x + ÷= sin Û ê Û ê (k Î ¢ ). èç 3ø÷ 6 ê p p ê p ê2x + = p - + k2p êx = + kp ëê 3 6 ëê 4 p Biểu diễn nghiệm x = - + kp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1). 12 p Biểu diễn nghiệm x = + kp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). 4 Hình 1 Hình 2 Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. 1 Câu 4. Nghiệm phương trình sin x = được biểu diễn trên 2 đường tròn lượng giác ở hình vẽ bên là những điểm nào sau đây? Lời giải.
3. Câu 5. Cho đồ thị hàm số y = sin 2x trên đoạn [- p ;p] (tham khảo hình bên). Hãy cho biết phương trình sin 2x = 0 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [- p ;p]? Lời giải. Phương trình sin 2x = 0 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sin 2x và trục hoành. Ta thấy trên đoạn [- p ;p], đồ thị hàm số y = sin 2x giao với trục hoành tại 5 điểm. Do đó phương trình sin 2x = 0 có 5 nghiệm trên đoạn [- p ;p]. B TRẮC NGHIỆM Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình sin x = - 1 trên đoạn [0;4p] bằng 3p 7p A. . B. . C. 4p. D. 5p. 2 2 p Lời giải. Phương trình: sin x = - 1 Û x = - + k2p (k Î ¢ ). 2 p 1 9 Vì nghiệm thuộc đoạn [0;4p] nên 0 £ - + k.2p £ 4p Û £ k £ ¾ k¾Î ¢¾® k Î {1;2}. 2 4 4 3p 7p Với k = 1 ta được nghiệm x = ; Với k = 1 ta được nghiệm x = . 2 2 3p 7p Vậy tổng các nghiệm cần tính: S = + = 5p. Chọn D. 2 2 æ pö æ 3pö Câu 7. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình sinç2x - ÷= sinçx + ÷ trên (0;p) có dạng èç 4ø÷ èç 4 ø÷ ap a (với là phân số tối giản). Giá trị a + b bằng b b A. 2. B. 6. C. 7. D. 11. é p 3p ê2x - = x + + k2p éx = p + k2p æ pö æ 3pö ê 4 4 ê Lời giải. Có sinç2x - ÷= sinçx + ÷Û ê Û ê p 2p . èç 4ø÷ èç 4 ø÷ ê p æ 3pö êx = + k ê2 - = p - ç + ÷+ 2p ê x çx ÷ k ë 6 3 ëê 4 è 4 ø 1 · Xét x = p + k2p (k Î ¢ ). Do x Î (0;p) nên ta có 0 < p + k2p < p Û - < k < 0 : không 2 có giá trị k nguyên thỏa mãn. p 2p p 2p 1 5 · Xét x = + k (k Î ¢ ). Do x Î (0;p) nên ta có 0 < + k < p Û - < k < 6 3 6 3 4 4 é p ê k = 0 Þ x = ì kÎ ¢ ê 6 p ï a = 1 ¾ ¾¾® ê . Vậy nghiệm thỏa mãn bài toán là x = Þ íï . Chọn C. ê 5p 6 ï b = 6 êk = 1 Þ x = îï ëê 6 æ ö 2 ç p÷ Câu 8. Gọi x0 là nghiệm của phương trình 4 sin 2x - 1 = 0 trên khoảng ç0; ÷. Mệnh èç 3ø÷ đề nào sau đây đúng?
4. 1 2 3 A. sin 3x = . B. sin 3x = . C. sin 3x = . D. sin 3x = 1. 0 2 0 2 0 2 0 1 p p Lời giải. Phương trình Û 2(1- cos 4x)- 1 = 0 Û cos 4x = Û x = ± + k (k Î ¢ ). 2 12 2 æ ö ç p÷ p 3p 2 Do x Î ç0; ÷ nên ta chọn x = = x0 . Khi đó sin 3x0 = sin = . Chọn B. èç 3ø÷ 12 12 2 Câu 9. Trên [- 2021;2021] phương trình (sin x + 1)(sin x - 2)= 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 642. B. 643. C. 1284. D. 1286. ésin x = - 1 ê p Lời giải. Phương trình Û ê Û sin x = - 1 Û x = - + k2p (k Î ¢ ). ëêsin x = 2 (vo ânghieäm) 2 p p - 2017 + 2017 + p Do x Î [- 2021;2021] nên ta có - 2017 £ - + k2p £ 2017 Û 2 £ k £ 2 2 2p 2p ¾ x¾ap x¾i® - 321,402 £ k £ 321,902 ¾ k¾Î ¢¾® k Î {- 321;- 319;...;321}. Vậy có tất cả 643 giá trị nguyên của k tương úng với có 643 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. æ 9pö 2 Câu 10*. Trên khoảng ç0; ÷ phương trình sin x = có bao nhiêu nghiệm? èç 4 ø÷ 5 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Chọn C. Vẽ đường tròn lượng giác và 9p biểu diễn cung từ 0 đến . Tiếp theo ta kẻ 4 2 đường thẳng y = . Nhìn hình vẽ ta thấy đường 5 2 thẳng y = cắt cung lượng giác tại 3 điểm phân 5 biệt. æ 9pö Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm trên khoảng ç0; ÷. èç 4 ø÷