Đề cương ôn tập môn Toán (Hình học) Lớp 11 - Chương 2, Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán (Hình học) Lớp 11 - Chương 2, Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

1. CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ SONG SONG BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết được cách xác định điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian + Hiểu được các khái niệm giao tuyến, giao điểm, thiết diện  Kĩ năng + Xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian + Xác định được giao điểm của hai đường phẳng trong không gian I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm ở đầu Mặt phẳng: Mặt hồ nước yên lặng cho ta hình ảnh của một phần mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày, không có giới hạn. Biểu diễn mặt phẳng thường dùng một hình bình hành hoặc một miền góc có ghi tên mặt phẳng ở góc. Kí hiệu mặt phẳng ta thường dùng chữ cái in hoa (A, B, C...) hoặc kí tự ,,   , và có thể đặt trong ngoặc (A), (B), (α), khi cần thiết. Khi một điểm A thuộc mặt phẳng (α) ta nói: A nằm trong mặt phẳng (α) hay mặt phẳng (α) chứa A, hay A thuộc (α). Kí hiệu: A Khi điểm B không nằm trong mặt phẳng (α), kí hiệu B . 2. Tính chất thừa nhận 1
2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm trên đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Dựa vào tính chất này chúng ta có thể chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa và do đó chúng có một Dựa vào tính chất này chúng ta có thể chứng đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung minh 3 điểm thẳng hàng của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt và  được gọi là giao tuyến của và Kí hiệu là d  . 3. Xác định mặt phẳng Cách 1: Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng. Cách 2: Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài nó có một và chỉ một mặt phẳng Cách 3: Qua hai đường thẳng cắt nhau có một và chỉ một mặt phẳng. 4. Hình chóp Trong mặt phẳng , cho đa giác lồi AAA12... n . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng . 2
3. Lần lượt nối S với các đỉnh AAA12, ,..., n để được n tam giác SA1 A 2, SA 2 A 3 ,..., SAn A 1 . Hình gồm đa giác AAA12... n và n tam giác SA1 A 2, SA 2 A 3 ,..., SAn A 1 được gọi là hình chóp và được kí hiệu là SAAA.12 ... n . Ta gọi S là đỉnh, đa giác AAA12... n là mặt đáy, các tam giác SA1 A 2, SA 2 A 3 ,..., SAn A 1 gọi là mặt bên của hình chóp. Các đoạn thẳng SA12, SA ,..., SAn gọi là các cạnh bên, các cạnh của đa giác AAA12... n là các cạnh đáy của hình chóp. Chú ý: Nếu đáy của hình chóp là tam giác thì ta gọi là “hình chóp tam giác” hay “tứ diện” II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1:Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp giải Tìm giao tuyến của mặt phẳng và  Ví dụ: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD . Hướng dẫn giải Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó A A   A  B Ba   B  AB   Ta có S  SAC SBD 1 3
4. Chú ý. Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau khi và Trong mặt phẳng (ABCD) có AC BD O chỉ khi chúng cùng nằm trên một mặt phẳng (đòng Lại có phẳng) và không song song với nhau. O AC  ASC O SAC O BD  SBD O ABD O SAC  ABD 2 Từ (1) và (2) suy ra SO  SAC SBD Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Trong mặt phẳng cho tức giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và S . Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) SAC và SBD b) SAB và SCD c) SAD và SBC Hướng dẫn giải a) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O  AC DB Ta có S  SAC SBD 1 O AC  SAC O SAC Lại có O SAC  SBD 2 O BD  SBD O SBD Từ (1) và (2) suy ra SO  SAC SBD b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi H  AB CD Ta có S  SAB SCD 4
5. H AB  SAB H SAB Lại có H SAB  SCD 4 H CD  SCD H SCD Từ (3) và (4) suy ra SH  SAB SCD c) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi F  AD CB Ta có S  SAD SBC 5 F AD  SAD F SAD Lại có F SAD  SBC 6 F CB  SBC F SBC Từ (5) và (6) suy ra SF  SAD SBC Chú ý: Đối với dạng tứ giác (hình bình hành, vuông) ta xác định giao của hai đường chéo sẽ là điểm thứ hai của giao tuyến. Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là các điểm nằm trên AB, AD với I là trung điểm AB và 2 AJ AD . Tìm giao điểm của IJ và mp (BCD) 3 - Để chứng minh A là giao điểm của đường thẳng d Hướng dẫn giải Ad và mp , ta phải chứng minh A Khi đó Ad  AI 1 AB 2 AI AJ Trong tam giác ∆ABC có AJ 2 AB AD AD 3 Do đó IJ và BD không song song theo định lý Ta-lét. Ta có Phương pháp tổng quát: IJ ABD Bước 1: Tìm một mặt phẳng phụ  chứa d Lại có ABD  BCD BD 5
6. Bước 2: Tìm giao tuyến   Trong mặt phẳng (ABD) gọi K  IJ BD Bước 3: Trong  có dM  Vậy IJ BCD K Vậy  dM  Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc (BCD). Gọi K là trung điểm của AD và G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và (BCD) Hướng dẫn giải AG 2 AM 3 AG AK Trong tam giác ∆AMD có AK 1 AM AD AD 2 Nên GK và MD không song song theo định lý Ta-lét. Ta có: GK AMD và AMD  BCD MD, suy ra trong AMD : H  MD GK Vậy GK BCD H Dạng 3: Tìm thiết diện tạo bời một mặt phẳng và hình chóp. Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là các điểm nằm trên AB, AD sao cho BD và IJ không song song. Tìm thiết diện tạo bởi (CU) và hình chóp Hướng dẫn giải Muốn tìm thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng cho trước, ta cần tìm các “đoạn giao tuyến” của với các mặt của hình chóp. Thiết 6
7. diện cần tìm chính là đa giác giới hạn với các đoạn giao tuyến vừa tìm được. Ta có CIJ  ABD IJ CIJ  ABC IC CIJ  ACD CJ Vậy thiết diện cần tìm là ∆CIJ Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN) Hướng dẫn giải a) Trong mặt phẳng (ABCD): O  AD BC Ta có (SAD) và (SBC) có S chung 7
8. O AD  SAD O SAD Lại có O SAD  SBC O BC  SBC O SBC Nên SO  SAD SBC b) Trong mặt phẳng (SOB) có P  SO MN và trong (SOA) gọi Q  AP SD Khi đó ta có SBC  AMN MN SCD  AMN QN SAD  AMN AQ SAB  AMN AM Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (AMN) là tứ giác AMNQ III. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là đường thẳng A. SA B. SD C. SB D. AC Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng A. SA B. SB C. SC D. SO Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBD) là đường thẳng A. SA B. SB C. BD D. SO Câu 4. Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC; M, N lần lượt là trung điềm BC, AC. Giao tuyến của (SAM) và (SBN) là A. SG B. SN C. SM D. Sx// AM // BN Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O, giao tuyến của mặt (SAC) và (SBD) là A. SC B. SA C. SB D. SO Câu 6. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh BC và BD sao cho MN không song song CD. Gọi K là giao điểm của MN và (ACD). Khẳng định nào sau đây đúng? A. K là giao của CM và DN B. K là giao MN và AC C. K là giao của MN và AD D. K là giao của MN và CD Câu 7. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AC, BC sao cho MN không song song với AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng MN và (SAB). Khẳng định nào sau đây đúng? A. K là giao điểm của hai đường thẳng MN với AB B. K là giao điểm của hai đường thẳng AM với BN 8
9. C. K là giao điểm của hai đường thẳng BN với AM D. K là giao điểm của hai đường thẳng AN với BM Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB (M khác A, B), N là điểm trên cạnh SC (N khác S, C). Giao điểm của MN và (SBD) là A. giao điểm của đường thẳng MN với SB B. giao điểm của đường thẳng MN với SD C. giao điểm của đường thẳng MN với BD D. giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng SI với I là giao điểm của BD và CM Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của CD, CB, SA. Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau? A. SO và KC B. MN và SB C. KM và SC D. MN và SA Câu 10. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc vào các cạnh AC, BC sao cho MN không song song AB. Gọi Z là giao điểm đường AN và (SBM). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Z là giao điểm của hai đường thẳng AM với BN B. Z là giao điểm của hai đường thẳng SN với AM C. Z là giao điểm của hai đường thẳng MN với AB D. Z là giao điểm của hai đường thẳng AN với BM Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD. M là điểm thuộc cạnh SB (không trùng với S và B). Thiết diện tạo bởi (AMD) và hình chóp S.ABCD là A. ngũ giác B. tứ giác C. tam giác D. không có Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, cắt hình chóp bằng mặt phẳng (MNP), trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC. Thiết diện nhận được là A. ngũ giác B. tứ giác C. tam giác D. không có Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB và SD. Thiết diện của mặt phẳng (AIJ) với hình chóp là A. tam giác B. ngũ giác C. tứ giác D. lục giác Câu 14. Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD (không trùng với các đỉnh). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là A. một đoạn thẳng B. một tứ giác C. một tam giác đều D. một tam giác Câu 15. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích a2 3 a2 2 a2 2 a2 3 A. B. C. D. 2 4 6 4 9