Đề kiểm tra học kì II môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học kì II môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Sở GD&ĐT Hà Nội ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam Môn Toán – Lớp 10 Năm học 2017-2018 Thời gian làm bài: 120 phút I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (4 điểm) Câu 1. Nếu a b,c d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. ac bd . B. a c b d . C. a b c d . D. a c b d . Lời giải ChọnD. Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều được một bất đẳng thức cùng chiều. Câu 2. Các giá trị của tham số m để bất phương trình m2 1 x m 0 có nghiệm là: A. m ¡ . B. m   . C. m ¡ \ 1 . D. m 1. Lời giải ChọnC. Khi m 1 ta được: 0x 1 0 thõa mãn. Khi m 1 ta được: 0x 1 0 vô lí. m m Khi m 1 x hoặc x 1 m2 1 m2 Vậy bất phương trình có nghiệm khi m 1. 1 2x Câu 3. Tập hợp nghiệm của bất phương trình 0 4x 8 1 1 1 1 A. 2; . B. ;2 . C. 2; . D. ;2 . 2 2 2 2 Lời giải ChọnC. 1 2x 1 0 2 x . Chọn C. 4x 8 2 x2 6x 5 0 Câu 4. Tập nghiệm của hệ bất phương trình là: 2 x 8x 12 0 A. 2;5. B. 1;6. C. 2;5 . D. 1;25;6. Lời giải ChọnC. x2 6x 5 0 1 x 5 2 x 5 . 2 x 8x 12 0 2 x 6 Câu 5. Các giá trị của tham số m để bất phương trình mx2 2mx 1 0 vô nghiệm là: A. m  . B. m 1. C. 1 m 0 . D. 1 m 0 . Lời giải ChọnC. Áp dụng định lý về dấu tam thức bậc hai ta thấy f x 0 nên BPT vô nghiệm ' 0 m2 m 0 m 0 1 m 0 . a 0 m 0 m 1 0 Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán 1
2. Câu 6. Khi thống kê điểm môn Toán trong một kỳ thi của 200 em học sinh thì thấy có 36 bài được điểm bằng 5 . Tần suất của giá trị xi 5 là: A. 2,5% . B. 36% . C. 18% . D. 10% . Lời giải ChọnC. Vì có 36 bài được điểm 5 nên tần số của điểm 5 là ni 36. n Vậy tần suất của giá trị x 5 là: f i .100 18% . i i N Câu 7. Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau: 3 A. tan x cot x . B. sin 3 x sin x . 2 C. cos 3 x cos x . D. cos x cos x . Lời giải ChọnC. Dễ thấy 3  tan x tan x cot x (vì tan tuần hoàn chu kì ) A đúng. 2 2  sin 3 x sin x sin x (vì sin tuần hoàn chu kỳ 2 ) B đúng.  cos 3 x cos x cos x (vì cos tuần hoàn với chu kỳ 2 ) C sai. 1 Câu 8. Cho sin với 0 . Giá trị của cos bằng: 3 2 3 2 6 1 1 A. . B. 6 3. C. 3. D. 6 . 2 6 6 2 Lời giải ChọnA. 2 1 cos 1 sin 1 3 6 Ta thấy cos 3 0 cos 1 do 0 2 6 1 1 3 1 1 2 6 Mà cos cos .cos sin .sin . . . 3 3 3 3 2 3 2 6 2 2 6 1 Câu 9. Nếu sin x cos x thì 2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 Lời giải ChọnA. 2 1 1 1 Ta thấy sin x cos x 1 2sin x cos x sin 2x . 2 2 2 Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán 2
3. Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng d1 :3x 4y 7 0, d2 :5x y 4 0 và d3 : mx 1 m y 3 0. Để ba đường thẳng này đồng quy thì giá trị của tham số m là: A. m 2 B. m 2. . C. m 0,5. . D. m 0,5 Lời giải Chọn A Bấm máy giải hệ phương trình tạo bởi phương trình hai đường thẳng d1 , d2 ta được tọa độ giao điểm M 1;1 . Để ba đường thẳng đồng quy tại M 1;1 thì M 1;1 d3 m 1 m 3 0 m 2. Câu 11. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;3 và B 4; 1 . Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng AB ? x 4 y 1 x 1 3t A. x y 3 0. B. y 2x 1. C. . D. . 6 4 y 1 2t Lời giải ChọnD. Trắc nghiệm: để đơn giản ta cứ thay tọa độ của A và B vào kiểm tra thấy ngay câu A, B,C sai. Tự luận: phương trình đường thẳng AB đi qua trung điểm I 1;1 của đoạn AB và có véc tơ  x 1 3t chỉ phương AB 6; 4 2 3; 2 nên có phương trình tham số t ¡ . y 1 2t Câu 12. Một elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 80, độ dài tiêu cự là 6. Tâm sai của elip đó là: 4 3 3 4 A. e . B. e . C. e . D. e . 5 4 5 3 Lời giải ChọnD. Ta có tiêu cự là 2c 6 c 3. Diện tích của hình nhật cơ sở là: 2a.2b 80 ab 20 mà a2 b2 c2 a2 b2 9 2 400 b 2 400 2 ab 20 a b 2 a 5 c 3 e . Ta được 2 2 a a b 9 2 400 4 2 b 4 a 5 a 2 9 a 9a 400 0 a Câu 13. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A 1; 1 và B 3;4 . Giả sử d là một đường thẳng bất kỳ luôn đi qua điểm B . Khi khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng d có phương trình nào sau đây? A. x y 1 0 . B. 3x 4y 25 . C. 5x 2y 7 0. D. 2x 5y 26 0 . Lời giải Chọn D. Gọi d : a x 3 b y 4 0 hay ax by 3a 4b 0 a2 b2 0 . 2 2 a b 3a 4b 2a 5b Bunhiacopxki 4 25 a b Khi đó: d A, d 29 . a2 b2 a2 b2 a2 b2 Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán 3
4. a b a 2 Dấu đẳng thức xảy ra hay d : 2x 5y 26 0 Chọn D. 2 5 b 5 Câu 14. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 1;1 và tạo với đường thẳng có phương trình x 3y 2 0 một góc 45o . Đường thẳng d có phương trình là: A. 2x y 1 0 . B. 2x y 1. C. x 2y 1 0 . D. 3x y 4 0 . Lời giải ChọnB. Gọi d : a x 1 b y 1 0 hay ax by a b 0 a2 b2 0 . d ' : x 3y 2 0  n a;b d a 3b 1 2 2 2 2 2 2 Vì  a 3b 5 a b a 6ab 9b 5a 5b 2 2 2 nd ' 1; 3 10 a b a 1 d : x 2y 3 0 b 2 2a b a 2b 0 ChọnB. a 2 d : 2x y 1 0 b Câu 15. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A 3;0 và B 0;4 . Đường tròn nội tiếp tam giác OAB có phương trình là: A. x2 y2 1. B. x2 y2 4x 4 0 . C. x2 y2 2 . D. x 1 2 y 1 2 1. Lời giải Chọn D. Tam giác OAB vuông tại O , OA 3, OB 4 AB 5. 1 OA OB AB S OA.OB =6; p 6 . OAB 2 2 S Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: r OAB 1. p Tâm I là giao của 3 đường phân giác trong của OAB mà A và B lần lượt nằm trên Ox và Oy nên tia phân giác của góc ·AOB chính là tia phân giác của góc phần tư thứ I có phương trình: y x x 0 . Gọi I m;m m 0 là tâm đường tròn nội tiếp, ta có: d I,OA d I,Ox r m 1 m 1. Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán 4
5. Vậy phương trình đường tròn nội tiếp OAB là: x 1 2 y 1 2 1. Câu 16. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm P 3; 2 và đường tròn C : x 3 2 y 4 2 36 . Từ điểm P kẻ các tiếp tuyến PM và PN tới đường tròn C , với M , N là các tiếp điểm. Phương trình đường thẳng MN là: A. x y 1 0 . B. x y 1 0. C. x y 1 0 . D. x y 1 0 . Lời giải Chọn D. C có tâm I 3;4 .  Dễ thấy tứ giác IMPN là hình vuông nên MN nhận IP 6; 6  1;1 làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm K 0;1 của IP . Vậy MN : x y 1 0 . II.PHẦN TỰ LUẬN (6 điểm) Câu 1. a. Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 2x 1 2 4x . x 3 x 0 b. Giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực: 2x 3 2x 1 . 2 x 3 3x 1 Lời giải 1 x 2 2x 1 0 3 1 3 x x 2x 3 4x 2 2 2 3 a. Ta có: 2x 1 2 4x x . 2x 1 0 1 1 2 x x 2x 1 4x 2 2 1 x 6 2x 3 0 1 3 b. Điều kiện: x , x . 2x 1 0 2 2 3 3 x x 3 x x 3 2x 1 x 2x 3 8x 3 8 2 0 0 0 . 2x 3 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x 1 1 x 2 Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán 5
6. 1 x 1 1 3 2 x x 1 x 3 3x 1 3 3 x 1 x . 4 x2 3 1 6x 9x2 4x2 3x 1 0 1 x 4 1 Vậy tập nghiệm là S ; . 4 cos 2x 1 2 tan x Câu 2. a. Chứng minh đẳng thức: khi các biểu thức đã xác định. 1 sin 2x cos2 x sin2 x 1 tan2 x 2 x 4x 5 b. Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình: có nghiệm. 2 x m 1 x m 0 Lời giải 2 1 2sin x cos x 1 2sin x cos x sin x cos x sin x cos x VP cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos 2x cos2 x sin2 x cos x sin x cos x sin x cos x sin x VT . 1 sin 2x cos x sin x 2 cos x sin x 2 cos x sin x Do đó ta có đpcm. x 5 2 x 5 x 4x 5 x m b. Ta có: x 1 . 2 x m 1 x m 0 x 1 x 1 x m 0 x m m 1 Để hệ có nghiệm thì . m 5 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn C1 , C2 có phương trình lần lượt là x 1 2 y 2 2 9 và x 2 2 y 2 2 4 . a) Tìm tọa độ tâm, bán kính của hai đường tròn và chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn một góc bằng 45o . c) Cho elip E có phương trình 16x2 49y2 1. Viết phương trình đường tròn C có bán kính gấp đôi độ dài trục lớn của elip E và C tiếp xúc với hai đường tròn C1 , C2 . Lời giải a) Ta thấy đường tròn C1 có tâm I1 1; 2 và bán kính R1 3 , đường tròn C2 có tâm 2 2 I1 2;2 và bán kính R2 2 . Khi đó 5 R1 R2 I1I2 2 1 2 2 5 C1 tiếp xúc C2 .  b) Ta có I1I2 3;4 . Gọi vec-tơ chỉ phương của đường thẳng cần lập là u a;b 0 . Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán 6
7. 1  3a 4b 1 9a2 24ab 16b2 cos 45 cos I I ,u  1 2 2 2 2 5 a2 b2 2 25a 25b a;b 7;1 7x y 0 7a2 48ab 7b2 0 . a;b 1; 7 x 7y 0 2 2 2 2 x y 1 1 c) Ta có 16x 49y 1 2 2 1 Độ dài trục lớn của E là 2a 2. . 1 1 4 2 4 7 Vậy bán kính đường tròn C cần lập là R 1. II1 R1 R 3 1 4 Khi đó xét II1I2 ta có II1I2 vuông tại I . II2 R2 R 2 1 3   AB. AB 0 a 2 a 1 b 2 b 2 0 Gọi I a;b , ta có: II 3 2 2 2 a 2 b 2 9 a2 b2 a 6 0 3a 4b 5 2 2 2 2 a b 4a 4b 1 0 a b a 6 0 5 3a 71 22 b I ; (tm) 25 25 4 . 25a2 46a 71 0 I 1;2  I1 loai 2 2 71 22 Vậy phương trình đường tròn cần lập là C : x y 1. 25 25 Câu 4. Cho ba số thực a , b , c thỏa điều kiện a2 b2 c2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 1 1 P . 1 8a2 1 8b2 1 8c2 Lời giải AM GM 1 2a 1 2a 4a2 Ta có: 1 8a3 1 2a 1 2a 4a2 1 2a2 . 2 1 1 1 Tương tự cho 1 8b3 và 1 8c3 , ta được: P . 1 2a2 1 2b2 1 2c2 1 1 1 2a2 1 2a2 Cauchy 1 1 2a2 2 1 5 2a2 Mặt khác: 2 . a2 . 1 2a2 1 2a2 9 9 1 2a2 9 9 9 9 2 2 2 5 2a2 5 2b2 5 2c2 15 2 a b c 15 2.3 Khi đó P 1. 9 9 9 9 9 a2 b2 c2 3 2 Dấu bằng xảy ra 1 2a 1 2a 4a và vai trò a , b , c như nhau hay a;b;c 1;1;1 . 1 1 2a2 1 2a2 9 HẾT Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán 7