Giáo án Đại số Lớp 10 - Tiết 4: Bất đẳng thức

Nội dung text: Giáo án Đại số Lớp 10 - Tiết 4: Bất đẳng thức

1. Tiết 4: Bài giảng về bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki và bất đẳng thức trị tuyệt đối IV. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. 1. Lí thuyết 1) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với 2 c￿p số thực Với hai cặp số thực ( , ) và ( , ) ta có ( + )2 ≤ ( 2 + 2) 2 + 2 với ∀ , , , ∈ 푅. Dấu “=” xảy ra ⇔ = ( ≠ 0) . - Nêu qua cách chứng minh. ( + )2 ≤ ( 2 + 2) 2 + 2 ⇔ 2 2 + 2 . + 2 2 ≤ 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 ⇔ 2 2 ― 2 . + 2 2 ≥ 0 ⇔( ― )2 ≥ 0 (luôn đúng với ∀ , , , ∈ 푅) Dấu bằng xảy ra khi ― = 0 ⇔ = ⇔ = ( ≠ 0). - Nêu cách dễ nhớ 2) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với 2 bộ 3 số thực Với hai bộ ba số thực ( 1, 2, 3), ( 1, 2, 3) 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 1 + 2 2 + + 푛 푛) ≤ 1 + 2 + + 푛 1 + 2 + + 푛 1 2 푛 Dấu “=” xảy ra ⇔ = = = . 1 2 푛 2. Ví dụ Ví dụ 1 . (Mức nhận biết) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với ∀ , A. ( + 2 )2 ≤ 5( 2 + 2). B. ( + 2 )2 > 5( 2 + 2). C. ( + 2 )2 ≤ 5( + ).D. + 2 ≤ 5( 2 + 2). Lời giải Chọn A Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1,2) và ( , ) ta được: ( + 2 )2 = (1. + 2. )2 ≤ (12 + 22)( 2 + 2) = 5( 2 + 2) Vậy ( + 2 )2 ≤ 5( 2 + 2) ⇔ = Dấu bằng xảy ra 1 2 Sau khi hướng dẫn xong bài toán trên ta nên hướng cho học sinh tư duy từ một bài toán ta nhìn ra được nhiều bài toán khác: 1) Cho + 2 = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của = 2 + 2. 2 2 2 2 4 Khi + 2 = 2, ta thu được: 4 ≤ 5( + )⇔ + ≥ 5. + 2 = 2 = 2 Dấu bằng xảy ra khi ⇔ 5 = = 4 1 2 5 2 2 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của = + là 5. 2) Cho 2 + 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của = + 2 . Khi 2 + 2 = 1, ta thu được: ( + 2 )2 ≤ 5⇒ + 2 ≤ 5. 2 2 + = 1 5 = Dấu bằng xảy ra khi = ⇔ 5 1 2 = 2 5 + 2 = 5 5 Vậy giá trị lớn nhất của = + 2 là 5.
2. 3) Cho 2 + 2 + 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của = + 3 + 3 . Khi 2 + 2 + 2 = 1, ta thu được: 2 = ( + 3 + 3 )2 ≤ (12 + 32 + 32)( 2 + 2 + 2) = 19 ⇒ + 3 + 3 ≤ 19 1 2 2 2 = + + = 1 19 3 Dấu bằng xảy ra khi = = ⇔ = 1 3 3 19 + 3 + 3 = 19 = 3 19 Vậy giá trị lớn nhất của = + 3 + 3 là 19. 4) Cho + + = 4. Tìm giá trị lớn nhất của = + + + + + . 2 Khi + + = 4, ta thu được: 2 = ( + + + + + ) ≤ (12 + 12 + 12) ( + + + + + ) = 12 ⇒ + + + + + ≤ 2 3 + + = 4 4 Dấu bằng xảy ra khi ⇔ = = = = = 3 1 1 1 Vậy giá trị lớn nhất của = + + + + + là 2 3. Ví dụ 2 . (Mức thông hiểu) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = + 5 + 3 ― trên [ ―5;3]. Cách 1: Tự luận. 2 2 Nhận xét: ( + 5) + ( 3 ― ) = + 5 + 3 ― = 8 Ta Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1,1) và ( + 5, 3 ― ) ta được: 2 ( + 5 + 3 ― ) ≤ (12 + 12)( + 5 + 3 ― ) = 16 ⇒ + 5 + 3 ― ≤ 4 5 = 3 + 5 = 3 ― Dấu bằng xảy ra khi 1 1 ⇔ ⇔ = ― 1 + 5 + 3 ― = 4 + 5 + 3 ― = 4 Vậy giá trị lớn nhất của ( ) = + 5 + 3 ― là 4 Cách 2: Máy tính. Ví dụ 3 . (Mức vận dụng) Cho 2 + 2 ≤ 2 + 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 퐹 = 2 + . Ta có: 2 + 2 ≤ 2 + 4 ⇔ 2 ― 2 + 2 ― 4 ≤ 0 ⇔( ― 1)2 + ( ― 2)2 ≤ 5 Khi đó: 퐹 = 2 + = 2( ― 1) + ( ― 2) + 4⇒2( ― 1) + ( ― 2) = 퐹 ― 4 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 2 bộ số (2,1) và ( ― 1, ― 2) (퐹 ― 4)2 = [2( ― 1) + ( ― 2)]2 ≤ (22 + 12) ( ― 1)2 + ( ― 2)2 ≤ 25 Vậy (퐹 ― 4)2 ≤ 25⇔ ― 5 ≤ 퐹 ― 4 ≤ 5⇔ ― 1 ≤ 퐹 ≤ 9.
3. 1 = 2 ― 2 = ―3 2 1 2 2 ( ― 1)2 + ( ― 2)2 = 5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( ― 1) + ( ― 2) = 5⇔ ⇔ 2 + = ―1 2 + = ―1 2 + = 9 2 + = 9 = ―1; = 1 = 3; = 3 Vậy 퐹 = 2 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng ― 1 khi = ― 1, = 1, 퐹 = 2 + đạt giá trị lớn nhất bằng 9 khi = 3, = 3. Từ bài toán này ta có thể ra theo kiểu trắc nghiệm. V. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dấu “=” xảy ra Điều kiện Nội dung x ³ 0, x ³ x, x ³ - x x = x Û x ³ 0, x ³ - x Û x £ 0 x £ a Û - a £ x £ a a > 0 x ³ a Û x £ - a hoặc x ³ a a - b £ a + b £ a + b a b a b a.b 0 Ta sẽ cùng nhau chứng minh bất đẳng thức a + b £ a + b CHỨNG MINH: 2 2 Ta có a b a b a b a b a2 2ab b2 a2 2 ab b2 ab ab đây là bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh. Lời dẫn: Các bất đẳng thức còn lại các em xem như bài tập về nhà. Một số kết quả liên quan Kết quả 1: ab cd 2 ab cd 2 a2 c2 b2 d 2 ab cd a2 c2 b2 d 2 Kết quả 2: ab cd ab cd a2 c2 b2 d 2 Lời dẫn: Sau đây chúng ta cùng nhau đi và phần ứng dụng của bất đảng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cũng như những bất đẳng thức khác bất đẳng thức trị thường được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức hoặc hổ trợ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Chúng ta xét một số ví dụ Cho 3 ví dụ thôi: Ví dụ 1: (TH) Chứng minh 5 x x 10 15 với mọi số thực x . Lời giải Áp dụng bđt a b a b ta có 5 x x 10 5 x x 10 15 Dấu ‘=’ xảy ra 5 x x 10 0 x 10;5 .
4. Ví dụ 2: (VD) Cho các số thực a, b, c thõa mãn a b c 2025 ; P a 1 b 2 c 3 . Khẳng định nào đúng? A. P 0 . B. P 2019 .C. P 3. D. P 2019 . Lời giải Cách 1: (tự luận) Ta có P a 1 b 2 c 3 a 1 b 2 c 3 a b c 6 2025 6 2019 . Chọn B Cách 2: (trắc nghiệm) Lấy thử vài giá trị a,b,c thỏa mãn a b c 2025, thế vào biểu thức P ta sẽ loại trừ dần các đáp áp sai. Đáp án còn lại cuối cùng sẽ là đáp án đúng. Chọn a 1,b 2,c 2024 P 2021 loại đáp án A,C,D. Vậy đáp án B đúng. Ví dụ 3: (VD) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 y2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y. Lời giải P x 2y x2 y2 12 22 5. 5 x 2y 0 x 5 Vậy MaxP 5 2x y . 2 2 2 5 x y 1 y 5