Giáo án Toán Lớp 10 - Tiết 34: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nội dung text: Giáo án Toán Lớp 10 - Tiết 34: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Tiết 34- BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT MỘT ẨN MÔN TOÁN: ĐẠI SỐ LỚP 10 Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH *Hoạt động khởi động Để chuẩn bị cho năm học mới, Nam được bố cho 200 nghìn để mua sách toán và bút. Biết rằng sách có giá 30 nghìn và bút có giá 10 nghìn. Hỏi Nam có thể mua 1 quyển sách và tối đa bao nhiêu chiếc bút? Lời giải Gọi x là số bút Nam mua. Theo đề bài ta có 30000 10000x 200000 3 x 20 x 17 Vậy số bút tối đa Nam mua được là 17 chiếc. *Hình thành kiến thức I. Khái niệm bất phương trình một ẩn: 1. Bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f (x) f (x) g(x)³ f (x) ( ) 2. Điều kiện của một bất phương trình Các điều kiện của ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). Ví dụ. Tìm điều kiện của các BPT sau: 1 a) x 2 x b) x x2 1 1 c) x 1 x 3. Bất phương trình chứa tham số Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Ví dụ. 2x m 0 II. Hệ bất phương trình một ẩn: Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. Ví dụ . Tìm tập nghiệm của hệ BPT sau: Trang 1/8 - WordToan
2. 3x 2 5 x 2x 2 5 x 4x 3 3x 3 3 x 4 x 1 3 x 1 4 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;1 4 *Hoạt động luyện tập 1 Ví dụ 1. Tìm tập xác định của bất phương trình x 300 x 600 x 2x 2 Lời giải 2x 2 0 x 1 x 1 Bất phương trình xác định khi x 300 0 x 300 . 300 x 600 600 x 0 x 600 Vậy tập xác định của bất phương trình là D  300 ; 600 \ 1 . 2 Ví dụ 2. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 5x 1 x 3 . 5 Lời giải 2 23 20 Ta có 5x 1 x 3 x 4 x . 5 5 23 20 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ; . 23 Ví dụ 3. Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x 3 1 x 0. Lời giải ĐKXĐ: 1 x 0 x 1. Ta có x 3 0 x 3 x 3 1 x 0 . 1 x 0 x 1 Kết hợp với điều kiện ta được: 3 x 1. Nghiệm nguyên của bất phương trình là: 2; 1;0. Vậy tổng các nghiệm của bất phương trình bằng 2 1 0 3 . 3x 2 2x 3 Ví dụ 4. Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình . 1 x 0 Lời giải 3x 2 2x 3 x 1 1 x 0 x 1 Trang 2/8 – Diễn đàn giáo viên Toán
3. Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. *Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng 1 3 Câu 1. Bất phương trình có điều kiện xác định là x 1 x 2 A. x 1; x 2 . B. x 1; x 2 . C. x 1; x 2 . D. x 1; x 2 . Lời giải Chọn đáp án C. Bất phương trình xác định khi: x 1 0 x 1 . x 2 0 x 2 Câu 2. x 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ? A. x 2 B. 2 x 2x 1 x 1 2x 2 C. 1 D. x 1 x x 1 x 2 5 3 Lời giải Chọn đáp án C. 1 7 Thay x 2 vào các đáp án A, B, C, D ta có đáp án C là (đúng) 5 3 2x x x Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình 6 8 chứa tập nào dưới đây? 3 5 3 3 3 A. ; . B. 1;3 .C. 20;30 . D. ; . 5 5 Lời giải Chọn đáp án C. Ta có 2x x x 2 6 8 x 2 x 15 3 5 3 15 Tập nghiệm của bất phương trình là: S 15; . Vậy tập nghiệm S chứa tập 20;30. 3x 1 0 Câu 4. Số nào sau đây là một nghiệm của hệ bất phương trình ? x 3 0 1 A. 5 B. 2. C. 2 D. . 2 Lời giải Chọn đáp án B. Ta có 1 3x 1 0 x 1 3 3 x . x 3 0 3 x 3 2x 5 0 Câu 5. Tập nghiệm của hệ bất phương trình là 8 3x 0 Trang 3/8 - WordToan
4. 5 8 3 2 8 5 8 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 2 3 8 5 3 2 3 Lời giải Chọn đáp án A. 5 x 2x 5 0 2 5 8 Ta có x . 8 3x 0 8 2 3 x 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 5 8 S ; . 2 3 Trang 4/8 – Diễn đàn giáo viên Toán
5. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Tiết 35- BPT VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT MỘT ẨN (tt) MÔN TOÁN: ĐẠI SỐ LỚP 10 Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Diendangiaovientoan.vn *Hoạt động khởi động Xác định tập nghiệm của các bất phương trình a) 3 x 0 b) x 1 0 Hai bất phương trình đã cho có tương đương không? Lời giải a) x 3 b)x 1 Hai BPT không tương đương. *Hình thành kiến thức III/ Một số phép biến đổi bất phương trình 1.Bất phương trình tương đương Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó. 2.Phép biến đổi tương đương Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. 3 x 0 Ví dụ. Giải hệ bpt x 1 0 Lời giải 3 x 0 x 3 x 1 0 x 1 1 x 3 3.Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P x Q x P x f x Q x f x Ví dụ. Giải bất phương trình (x 2)(2x 1) 2 x2 (x 1)(x 3) 2x2 x 4x 2 2 x2 x2 2x 3 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;1 4.Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. Trang 5/8 - WordToan
6. P x Q x P x . f x Q x . f x , f x 0, x P x Q x P x . f x Q x . f x , f x 0, x Ví dụ. Giải bất phương trình x2 x 1 x2 x x2 2 x2 1 x2 x 1 x2 1 x2 x x2 2 x4 x3 2x2 x 1 x4 x3 2x2 2x x4 x3 2x2 x 1 x4 x3 2x2 2x 0 x 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1; 5.Bình phương Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P x Q x P2 x Q2 x , P x 0, Q x 0, x Ví dụ. Giải bất phương trình x2 2x 2 x2 2x 3 Hai vế của bất phương trình có nghĩa và đều dương với mọi x . Bình phương hai vế của bất phương trình ta được 2 2 x2 2x 2 x2 2x 3 x2 2x 2 x2 2x 3 4x 1 1 x 4 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ; 4 6. Chú ý Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau 1) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới. 2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P x Q x với biểu thức f x ta cần lưu ý đến điều kiện Trang 6/8 – Diễn đàn giáo viên Toán
7. về dấu của f x . Nếu f x nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình. x 1 Ví dụ. Giải bất phương trình sau: 1 x 2 Lời giải ĐK: x 2 TH1: x 2 , luôn không đúng. 1 TH2: 2 x 1 , bất phương trình trở thành: 1 x x 2 x . 2 1 Kết hợp với điều kiện,ta có: 2 x . 2 TH3: x 1 , bất phương trình trở thành: x 1 x 2 , vô lí. 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 2; . 2 3) Khi giải bất phương trình P x Q x mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp a) P x , Q x cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình. b) P x , Q x cùng có giá trị âm ta viết P x Q x Q x P x rồi bình phương hai vế bất phương trình mới. *Hoạt động luyện tập Ví dụ 1. Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 3x 1 0 (*) : 1 1 a) 3x 1 x 3 x 3 x x b) 3x 1 3x 1 3x 1 Lời giải 1 Ta có 3x 1 0 x 3 1 1 a) 3x 1 (1) không tương đương 3x 1 0 vì x 3 là nghiệm của bất phương trình (*) x 3 x 3 nhưng không là nghiệm của bất phương trình (1). x x 1 x x b) 3x 1 3x 1 0 x Do đó 3x 1 tương đương 3x 1 3x 1 3 3x 1 3x 1 3x 1 0 . x 1 Ví dụ 2. Giải bất phương trình sau: 5x 4 2x 7 5 Lời giải x 1 5x 4 2x 7 14x 14 x 1 5 Tập nghiệm của bất phương trình là: S ; 1 . *Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình x x 6 5 2x 10 x x 8 là A. ;5 . B. 5; . C.  . D. ¡ . Lời giải Trang 7/8 - WordToan
8. Chọn đáp án C. Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng ? 1 A. x2 3x x 3 B. 0 x 1 x x 1 C. 0 x 1 0 D. x x x x 0 x2 Chọn đáp án D. Trang 8/8 – Diễn đàn giáo viên Toán