Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương III, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương III, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

1. LỚP LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 11 Chương III 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
2. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Câu 1 Nêu cách xác định góc giữa hai vectơ Ԧ và đều khác 0 trong hình học phẳng. Trả lời Trong mặt phẳng cho hai véctơ và đều khác véc tơ và một điểm O bất kì. A O Góc giữa hai vectơ B
3. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Câu 2 a) Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng? Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ? b) Điền vào bảng bên dưới. Trả lời a) Trong mặt phẳng, cho 풖, 풗 . Tích vô hướng của hai vectơ 풖 và 풗 là một số, kí hiệu 풖. 풗 풖 . 풗 풖. 풗 = |풖|. |풗|.cos(풖, 풗) ⇒ 퐜퐨퐬 풖 , 풗 = |풖|. | 풗 |
4. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Câu 2 a) Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng? Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ? b) Điền vào bảng bên dưới. Trả lời b) Cho và đều khác vectơ . = | |. | |.cos( , ) Góc , cos , . • °( Hai véc tơ cùng hướng) 1 . • °( Hai véc tơ vuông góc) 0 0 • °( Hai véc tơ ngược hướng) -1 - . Khi = ta được . = . = = | |. | | 풐풔( ) = | | Hay =
5. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Định nghĩa Trong không gian, cho 풖 , 풗 . 풖 B = 풖 , = 풗 A  C Kí hiệu ( 풖 , 풗 ) là góc giữa hai vectơ 풖 và 풗  풗 ≤ ( 풖 , 풗 ) ≤ 풖, 풗 = ෣ Ví dụ 1: A Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm E của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ. H  ( AB , AC ) = BAC = 600 B  D ( CD , DA ) = ADE = 1200 C  ( CH , BC ) = HCF = 1500 F
6. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Định nghĩa Trong mặt phẳng, cho u , v 0. Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu u . v u . v = |u| . |v| .cos( u , v ) Tính chất 풖 . 풗 Quy ước : Nếu u = 0 hoặc v = 0 thì: u . v = 0 퐜퐨퐬 풖 , 풗 = |풖|. | 풗 |
7. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Nhận xét * Nếu u và v cùng hướng thì u . v =|u|.|v| * Nếu u và v ngược hướng thì u . v = -|u|.|v| * Nếu u và v vuông góc thì u . v = 0 * Ta có u 2 =|u|2
8. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Bài tập : 2 Dạng 1:Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian 1 Phương pháp: - Áp dụng công thức: 풖. 풗 = |풖|. |풗|. 풐풔 풖, 풗 - Sử dụng tính chất và các nhận xét. Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian 1 Phương pháp: Cách 1: Áp dụng định nghĩa góc của 2 véc tơ trong không gian. Cách 2: Sử dụng các nhận xét và tính chất 풖 . 풗 퐜퐨퐬 풖 , 풗 = |풖|. | 풗 |
9. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian Ví dụ 1 Cho | | = , | | = góc giữa và bằng °. Tính tích vô hướng của hai véctơ và Bài giải . = | |. | |. 풐풔 , = . . 퐜퐨퐬 = −
10. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, 푺 = và tam giác ABC vuông tại A. Khi đó 푪 . 푪푺 =? . . 푪. 푫. Bài giải S 푪 = ;푺푪 = + = 푪 푪 ; 푪푺 = 푺푪 ෣ cos푺푪 ෣ = = 푺푪 A B 푪 . 푪푺 = . . = . D C
11. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian Ví dụ 3 Cho hình lập phương 퐀퐁퐂퐃. 퐀′퐁′퐂′퐃′ có cạnh 퐚. Gọi 퐌 là trung điểm 퐀퐃. Giá trị 퐁′퐌. 퐁퐃′ là: A. 퐚 . B. 퐚 . C. 퐚 . D. 퐚 . ퟒ Bài giải B' A' Ta có: 퐁′퐌. 퐁퐃′ = 퐁′퐁 + 퐁퐀 + 퐀퐌 퐁퐀 + 퐀퐃 + 퐃퐃′ D' C' = ′ . 푫푫′ + + 푴. 푫 A B M = − + + = D C
12. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian Ví dụ 1 Cho hình lập phương 푪푫. 푬푭푮푯. Hãy tính góc giữa cặp vectơ và 푬푮? A. °. B. °. C. ퟒ °. D. °. F Bài giải E Ta có: 퐄퐆 = 퐀퐂 (do 퐀퐂퐆퐄 là hình chữ nhật) H G ⇒ 퐀퐁, 퐄퐆 = 퐀퐁, 퐀퐂 = 퐁퐀퐂෣ = ퟒ °. A (Vì 푪푫 là hình vuông) B D C
13. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian Ví dụ 2 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và 푶 = 푶 = 푶푪 = . Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC. Bài giải OM .BC C BC= 2 cos(OM , BC) OM .BC = = = OM .BC AB 2 OM . BC 2 OM == .2 22 2 1 Mặt khác OM.BC= (OA+OB).(OC-OB) O B 12 2 M = ( OA.OC-OA.OB+OB.OC-OB ) A 2 1 Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên: Suy ra: cos(OM ,BC) = - 2 2 OA . OC = OA . OB = OB . OC = 0, OB = 1 Vậy: (OM , BC) = 1200
14. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian Ví dụ 3 Cho hình chóp 퐒. 퐀퐁퐂 có 퐁퐂 = 퐚 , các cạnh còn lại đều bằng 퐚. Góc giữa hai vectơ 퐒퐁 và 퐀퐂 bằng A. °. B. °. C. °. D. °. Bài giải S 푺 . 푪 Ta có 풐풔 푺 , 푪 = 푺 . 푪 푺 + . 푪 푺 . 푪 + . 푪 = = A C − + = = − . Suy ra 퐒퐁, 퐀퐂 = . B
15. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian Ví dụ 4 Cho hình lập phương 퐀퐁퐂퐃. 퐄퐅퐆퐇. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ 퐀퐅 và 퐄퐆? A. ° B. ° C. ퟒ ° D. ° Bài giải F 퐀퐅. 퐄퐆 푬푭 − 푬 . 푬푮 푬푭. 푬푮 − 푬 . 푬푮 E 퐜퐨퐬 퐀퐅; 퐄퐆 = = = 퐀퐅. 퐄퐆 푭. 푬푮 푭. 푬푮 H G 푬푭. 푬푮 . . osퟒ A = = = ⇒ 퐀퐅; 퐄퐆 = B 푭. 푬푮 . D C
16. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa (d) Vectơ a khác vectơ - không được gọi là a vectơ chỉ phương của đường thẳng d (d’) b nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d (d1) k 0 a k a a (d2) (d) b a (d) A d1 // d2 a , b cùng phương
17. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Véctơ chỉ phương của đường thẳng AC là . . 푪. ′푪′ 푫. ′푪 Bài giải Vì A’C’//AC B' C' A' D' B C A D
18. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa b Góc giữa hai đường thẳng a và b trong a không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ O a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt  b’ song song với a và b Gọi là góc giữa hai đường thẳng thì 00 900 a b a b a u u 00 ( u , v ) 900 v a’   O ( u , v ) > 900  b v Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng ( u , v ) a và b bằng 1800 – ( u , v )
19. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng Phương pháp chung xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian? Phương pháp 1: Phương pháp dùng định nghĩa Bước 1: Chọn 1 điểm trên đường thẳng này và kẻ đường thẳng song song với đường kia. Bước 2: Dựa vào hệ thức lượng trong mặt phẳng để tính góc đó. Phương pháp 2: Phương pháp vectơ Bước 1: Dựa vào tích vô hướng để tính góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng. Bước 2: Từ góc giữa 2 vectơ chỉ phương suy ra góc giữa 2 đường thẳng.
20. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: a) AB và B’C’ b) AC và B’C’ Bài giải B’ C’ 0 A’ Góc giữa AB và B’C’ bằng góc ABC = 90  D’ B Góc giữa AC và B’C’ bằng góc ACB = 450  C A  D
21. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài giải . 푺푪 . ( 푺  +  푪 ൯ . 푺  +  . 푪 Ta có: 풐풔( , 푺푪) = = = | |. | 푺푪 | .  S Tam giác ABC có AB2 + AC2 = 2a2 = BC2 nên tam giác ABC vuông tại A . 푪= 0 a a 0 Tam giác SAB đều nên ( , 푺 ) = 120 A a B Do đó: . 푺 = a.a.cos1200 = − a a2  − C Vậy: 퐜퐨퐬( , 푺푪 )= =− , 푺푪= 1200
22. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 3 Cho hình lập phương 푪푫. ′ ′푪′푫′ có 푰, 푱 tương ứng là trung điểm của 푪 và ′. Góc giữa hai đường thẳng 푪 và 푰푱 bằng: o o o o A. 45 . B. 60 C. 30 . D. 120 . Bài giải Gọi 푲 là trung điểm của Vì 푪푫 là hình vuông nên 푲푰// 푪, suy ra góc giữa 푪 và 푰푱 bằng góc giữa 푲푰 và 푰푱. Ta có 푲푰 = 푪; 푰푱 = 푪′; 푲푱 = ′ Vì 푪푫. ′ ′푪′푫′ là hình lập phương nên: 푪 = ′푪 = ′ suy ra 푲푰 = 푰푱 = 푱푲 Suy ra tam giác 푰푱푲 là tam giác đều, suy ra 푲푰푱෢ = °. Vậy góc giữa hai đường thẳng 푪 và 푰푱 bằng 푲푰푱෢ = °.
23. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 4 Cho hình chóp 푺. 푪푫 có đáy là hình vuông cạnh là ; cạnh 푺 = và vuông góc với đáy. Gọi 푴 là trung điểm của 푪푫. Tính 풐풔 휶 với 휶 là góc tạo bởi hai đường thẳng 푺 và 푴. ퟒ A. . B. . C. . D. − . Bài giải Gọi 푵,푷 lần lượt là trung điểm và 푺 . S 푺 //푵푷 Ta có ቊ . Suy ra : 푺 ෣, 푴 =.푵푷෣, 푵푪 P 푴//푵푪 A D Xét 휟푵푷푪 có 푵푷 = , 푷푪 = , 푵푪 = . N M 푵푷 +푵푪 −푷푪 B Khi đó 풐풔 휶 = 풐풔 푷푵푪෣ = = . C 푵푷.푵푪
24. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 5 Cho tứ diện đều 푪푫 cạnh . Gọi 푴 là trung điểm của 푪. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng và 푫푴? A. . B. . C. . D. . Bài giải Gọi 푵 là trung điểm 푪. Khi đó: // 푴푵 nên 푫푴, = 푫푴, 푴푵 Dễ dàng tính được 푫푴 = 푫푵 = và 푴푵 = . D a a Trong 퐃퐌퐍, ta có: 푫푴 + 푴푵 − 푫푵 N C 풐풔 푫푴푵෣ = = ퟒ A = M 푫푴. 푴푵 a ⋅ ⋅ B 푽ì 풐풔 푫푴푵෣ = > 풏ê풏 풐풔 푫푴, 푴푵 = . Vậy 풐풔 푫푴, =
25. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau được kí hiệu là a ⊥ b a u a a ⊥ b  b  v b I và a cắt b tại I a c b a b / /c a ⊥ b a⊥ b u . v = 0 ⊥ab b ac⊥ và a, b chéo nhau
26. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và PQ vuông góc nhau. Bài giải Ta có: PQ = PA + AC + CQ  A Và: PQ = PB + BD + DQ P 1 Do đó: 2PQ = AC + BD PQ = (AC + BD) 2 B C 1 Khi đó: PQ . AB = ( AC + BD ).AB  Q 2  1 D = ( AC . AB + BD . AB )= (0 + 0) = 0 2 Vậy PQ . AB = 0. Suy ra PQ ⊥ AB
27. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 2 Cho hình lập phương 푪푫. ′ ′푪′푫′. Góc giữa hai đường thẳng 푪푫′ và 푪′ bằng A. °. B. °. C. °. D. ퟒ °. Bài giải Ta có: 푪푫′. 푪′ = 푪푫′. 푫 + 푫푪′ = 푪푫′. 푫 + 푪푫′. 푫푪′ = 푪푫′. 푫 + = 푪푫 + 푫푫′ . 푫 = 푪푫. 푫 + 푫푫′. 푫 = . Suy ra 푪푫′. 푪′ = Do đó góc giữa hai đường thẳng 푪푫′ và 푪′ là °.
28. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 3 Cho tứ diện đều 푪푫. Khi đó góc giữa và 푪푫 bằng: A. °. B. °. C. °. D. °. Bài giải A Giả sử tứ diện 푪푫 đều cạnh . . 푪푫 Ta có: 풐풔 , 푪푫 = 풐풔 , 푪푫 = . 푪푫 푪 − 푪 . 푪푫 B D = 푪 . 푪푫. 풐풔 푪푫෣ − 푪 . 푪푫. 풐풔 푪푫෣ = C Vậy góc giữa và 푪푫 bằng ° .
29. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 4 Cho hình hộp 푪푫. ′ ′푪′푫′ có tất cả các cạnh bằng a và 푪෣ = ෣′ = ෣′ 푪 = . Chứng minh ′ ′푪푫 là hình vuông. Bài giải Ta có: 푪 푫Τ/ = ′ ′. Vậy ′ ′푪푫 là hình bình hành. Mặt khác: ′푪 = + − . . 풐풔 = − = ⇒ ′푪 = A D Do đó ′ ′푪푫 là hình thoi. C B Ta lại có: 푪 ′. 푪푫 = 푪 + ′ . 푪푫 = 푪 . + ′. = + = Suy ra 푪 ′ ⊥ 푪푫 A' D' Vậy ′ ′푪푫 là hình vuông (đpcm). B' C'
30. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN ퟒ Ví dụ 5 Cho tứ diện ABCD có 푪푫 = . Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Cho biết 푱푲 = . Chứng minh: 푪푫 ⊥ 푰푱 Bài giải A Ta có: 푰푱 = 푰푲 = 푪푫 = ; ퟒ 푰푱 + 푰푲 = + = ퟒ J B Mà 푱푲 = D K Từ (1) và (2) ta được:푰푱 + 푰푲 = 푱푲 I Vậy 푰푱 ⊥ 푰푲 (∗൯ C Vì IK là đường trung bình của tam giác BCD nên: 푰 푲Τ/ 푪푫 ∗∗ Từ (*) và ( ) ta suy ra 푪푫 ⊥ 푰푱
31. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 6 Cho tứ diện 푪푫 có = 푪 = 푫 và 푪෣ = 푫෣ = °, 푪 푫෣ = °. Gọi 푰 và 푱 lần lượt là trung điểm của và 푪푫. Chứng minh đường thẳng 푰푱 và 푪푫 vuông góc. Bài giải 푰푱 = 푰 + 푫 + 푫푱 ; 푰푱 = 푰 + 푪 + 푪푱 Lấy + ta được: 푰푱 = 푫 + 푪 2푰푱. 푪푫 = 푫 + 푪 − . 푫 − 푪 = 푫 − 푫. 푪 + 푪. 푫 − 푪 − . 푫 + . 푪 = − . . 푫. 풐풔 + . 푪. 풐풔 = 0 Vậy 푰푱 ⊥ 푪푫 suy ra 푪푫෣, 푰푱 = °.
32. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
33. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
34. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
35. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Góc giữa hai vectơ trong không gian Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 00 900 u a b A B u  C u v   v  v 00 ( u , v ) 1800 00 ( u , v ) 900 ( u , v ) > 900 Hai đường thẳng vuông góc u . v cos( u, v ) = 0 u . u a ⊥ b = 90 a⊥ b u.v= 0