Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương III, Bài 6: Ôn tập chương III (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương III, Bài 6: Ôn tập chương III (Tiết 2)

1. LỚP LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. ÔN TẬP CHƯƠNG III (Tiết 2) I TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Góc giữa hai mặt phẳng 2 Hai mặt phẳng vuông góc 3 Khoảng cách II BÀI TẬP TỰ LUẬN III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
2. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III I TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau. - Cách 1: + Lấy ∈ , Từ dựng hai đường thẳng ⊂ 훼 , ⊂ 훽 sao cho ⊥ ; ⊥ . Khi đó: , = 휑. - Cách 2: α A + 훼 ∩ 훽 = . + Từ ∈ 훼 , kẻ ⊥ 훽 , ∈ 훽 . c φ + Kẻ ⊥ , khi đó ෿ = 휑. O B β
3. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III I TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Góc giữa hai mặt phẳng Ví dụ 1 Cho hình chóp 푆. có 푆 ⊥ . Chỉ ra góc giữa các mặt phẳng 푆 ; 푆 ; 푆 với ? Bài giải S - ( 푆 ෣; ) = 푆퐹 ෢ = 훽; - ( 푆 ෣; ) = 푆 ෢ = 훼; - ( 푆 ෣; ) = 푆 ෣ = 휑. A D φ β F H α B E C
4. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III I TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 Hai mặt phẳng vuông góc. Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau khi góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông. Kí hiệu : α ⊥ β . Cách chứng minh α ⊥ β ⇔ ∃a ⊂ α : a ⊥ β .
5. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III I TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 Hai mặt phẳng vuông góc Ví dụ 2 Cho hình chóp 푆. có đáy là một hình thoi tâm O cạnh và 푆 ⊥ . Chứng minh rằng 푆 ⊥ 푆 . Bài giải S Theo đề bài ABCD là hình thoi cạnh a → ⊥ . 푆 ⊥ ⇒ 푆 ⊥ . ⊥ Có ቊ ⇒ ⊥ 푆 ; ⊂ 푆 ⊥ 푆 C B a ⇒ 푆 ⊥ 푆 . O D A
6. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III I TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 Khoảng cách. a. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho và mp(훼). Gọi là hình chiếu vuông góc của trên 훼 . Khi đó khoảng cách OH đgl khoảng cách từ điểm O đến mp(훼). Kí hiệu O, 훼 . Cách xác định O O, 훼 = . α M H
7. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III I TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 Khoảng cách. b. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Cho a // 훼 . Khoảng cách giữa a và ( ) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến (훼). Kí hiệu , (훼) . Cách xác định a A B , (훼) = , (훼) với là điểm tùy ý thuộc . α A' B'
8. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III I TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 Khoảng cách. c. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy đgl đường vuông góc chung của a và b. - Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nhận xét M - Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách từ a một điểm trên đt này đến mp song song với nó và chứa đt kia - Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách b giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đt đó. N Δ
9. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 3. (SGK11 CTC trang 121) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB. Bài giải 푆 ⊥ 푆 ⊥ S a) Ta có 푆 ⊥ ⇒ 푆 ⊥ 푆 ⊥ C' D' 푆 ⊥ ⇒ 훥푆 vuông tại A; 푆 ⊥ → 훥푆 vuông tại A. 푆 ⊥ B' ቊ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 ⇒ 훥푆 vuông tại B. D ⊥ A a 푆 ⊥ ቊ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 → 훥푆 vuông tại D. ⊥ B C
10. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 3. (SGK11 CTC trang 121) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB. Bài giải 푆 ⊥ b) Ta có ቊ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 . ⊥ S Mặt khác vì 훼 ⊥ 푆 ; ′ ′ ⊂ 훼 ⇒ 푆 ⊥ ′ ′. C' Như vậy ta có hai đường thẳng BD và B’D’ phân biệt nằm trong mặt D' phẳng (SBD) và cùng vuông góc với SC. Nhưng vì SC không vuông B' góc với mặt phẳng (SBD) nên hình chiếu của SC trên mặt phẳng D A (SBD) sẽ vuông góc với BD và B’D’. Suy ra BD // B’D’. a Ta có : ⊥ 푆 ; ′ ⊂ 푆 ⇒ ⊥ ′. 푆 ⊥ 훼 ; ′ ⊂ 훼 ⇒ 푆 ⊥ ′. ⇒ ′ ⊥ 푆 ⇒ ′ ⊥ 푆 . B C
11. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 4. (SGK11 CTC trang 121) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc ෣ = 600 3 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 푆 = . 4 Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F là trung điểm của đoạn BE. a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC). Bài giải a) Theo đề bài ABCD là hình thoi cạnh a có góc ෣ = 600 S nên tam giác ABD là tam giác đều ⇒ BCD cũng là tam giác đều ⇒DE ⊥BC. Mà OF // DE ⇒OF // DE ⇒OF ⊥ BC (1) H 3a Lại có SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC (2) 4 Từ (1) và (2) suy ra ⊥ 푆 퐹 ⇒ 푆 ⊥ 푆 퐹 . F E B C b) Theo câu a) ta có 푆 퐹 ⊥ 푆 và 푆퐹 = 푆 퐹 ∩ 푆 a nên trong mp 푆 퐹 kẻ ⊥ 푆퐹 ⇒ ⊥ 푆 O D ⇒ = ; 푆 . A I
12. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 4. (SGK11 CTC trang 121) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc ෣ = 600 3 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 푆 = . 4 Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F là trung điểm của đoạn BE. a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC). Bài giải S Gọi = 퐹 ∩ . 훥 là tam giác đều có DE là đường cao 3 1 3 ⇒ = ⇒ 퐹 = = . 2 2 4 H 3a 4 훥푆 퐹vuông tại O có OH là đương cao nên ta có: F E 1 1 1 16 16 64 3 B C = + = + = ⇒ = a 2 퐹2 푆 2 3 2 9 2 9 2 8 3 O ⇒ ; 푆 = = . D 8 A I
13. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 4. (SGK11 CTC trang 121) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc ෣ = 600 3 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 푆 = . 4 Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F là trung điểm của đoạn BE. a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC). Bài giải S là hình thoi ⇒ ∥ ; ⊄ 푆 ⇒ ∥ 푆 ⇒ ; 푆 = ; 푆 Ta có ∩ 푆 = 퐹 và O là trung điểm IF nên ta có H 3a 3 4 ; 푆 = ; 푆 = 2 ; 푆 = 2 = . F E 4 B C 3 3 Vậy ; 푆 = ; ; 푆 = . a 8 4 O D A I
14. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 6. (SGK11 CTC trang 122) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A‘B’CD). b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’. Bài giải D' C' a) Ta có ′ ⊥ ′(hai đường chéo của hình vuông BCC’B’). A' B' Vì . ′ ′ ′ ′là hình lập phương nên ′ ′ ⊥ ′ ′ H ′ ′ ′ K ⇒ ⊥ . E F ′ ⊥ ′ ′ L Suy ra ቊ ⇒ ′ ⊥ ′ ′ . D ′ ⊥ ′ C A B
15. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 6. (SGK11 CTC trang 122) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A‘B’CD). b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’. Bài giải D' C' ′// ′ b) Ta có ቊ ⇒ ′// ′ ′ . A' B' ′ ⊄ ′ ′ H Gọi E, F lần lượt là tâm hình vuông ADD’A’ và BCC’B’. K E F Trong mp 퐹 ′ kẻ 퐹 ⊥ ′ (H EB’). Khi đó FH nằm trên mặt L D phẳng ′ ′ nên theo câu a) suy ra C ⇒ ′ ⊥ 퐹 mà ′// ′ ⇒ 퐹 ⊥ ′mà 퐹 ⊥ ′ ⇒ 퐹 ⊥ ′ ′ . A B Do đó hình chiếu của BC’ trên mp (AB’D’) là đường thẳng đi qua H và song song với BC’.
16. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 6. (SGK11 CTC trang 122) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A‘B’CD). b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’. Bài giải D' C' Nếu đường thẳng đó cắt AB' tại K, thì từ K vẽ đường thắng song A' B' song với HF, cắt BC’ tại L. H Khi đó KL là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AB’ và K F BC’. E L 훥EF ′vuông tại F có FH là đường cao D C 1 1 1 1 2 3 3 ⇒ = + = + = ⇒ 퐹 = . 퐹 2 퐹 2 퐹 ′2 2 2 2 3 1 1 2 A B (với 퐹 = = ; ′퐹 = ′ = 2 = ). 2 2 2
17. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 6. (SGK11 CTC trang 122) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A‘B’CD). b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’. Bài giải D' C' Theo cách dựng thì 퐾퐿퐹là hình chữ nhật nên A' B' 3 H 퐾퐿 = 퐹 = K 3 E F Vậy độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’ là L a 3 D KL = FH = . C 3 A B
18. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 7. (SGK11 CTC trang 122) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc ෣ = 600, 푆 = 푆 = 푆 = 3 2 a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC. Bài giải a) Gọi = ∩ và là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇒ 푆 ⊥ . S 3 Vì 푆 = 푆 = 푆 = nên 2 푆 ⊥ ⇒ 푆 = 푆; Theo đề bài ABCD là hình thoi cạnh a có góc ෣ = 600 ⇒ ABD là tam giác đều cạnh a. B C 3 3 2 3 a O = = ⇒ = = . 600 H 2 2 3 3 A D
19. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 7. (SGK11 CTC trang 122) 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc ෣ = 600, 푆 = 푆 = 푆 = 2 a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC. Bài giải 3 2 3 2 15 2 S 훥푆 vuông tại H có 푆 2 = 푆 2 − 2 = − = 4 9 36 15 ⇒ 푆 = . 6 2 3 Ta có = 2 = ; 3 15 2 12 2 7 2 7 훥푆 vuông tại H có 푆 2 = 푆 2 + 2 = + = ⇒ 푆 = . B C 36 9 4 2 a 15 7 O Vậy 푆; = 푆 = và 푆 = . 600 H 6 2 A D
20. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 7. (SGK11 CTC trang 122) 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc ෣ = 600, 푆 = 푆 = 푆 = 2 b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). c) Chứng minh SB vuông góc với BC. Bài giải S b) Ta có ∈ ⇒ 푆 ⊂ 푆 . Theo câu a) 푆 ⊥ ⇒ 푆 ⊥ . 3a2 7a2 c) Xét ΔSBCcó SB2 + BC2 = + a2 = = SC2 4 4 B C ⇒ ΔSBC vuông tại B ⇒ SB ⊥ BC. a O 600 H A D
21. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 7. (SGK11 CTC trang 122) 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc ෣ = 600, 푆 = 푆 = 푆 = 2 d) Gọi 휑 là góc giữa hai mặt phẳng 푆 và . Tính 푡 푛휑. Bài giải d) Ta có 푆 ∩ = S Theo đề bài ABCD là hình thoi ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ; 푆 ⊥ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ( 푆 ෣, = 푆 ෣, = 푆 ෣ = 휑. 1 3 Ta có = = ; 훥푆 vuông tại H có 3 6 B C 5 a 푆 O 6 0 H 푡 푛 휑 = 푡 푛푆 ෣ = = = 5 60 3 A D 6
22. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1 Cho , , là các đường thẳng. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? A Nếu ⊥ và mặt phẳng 훼 chứa , mặt phẳng 훽 chứa thì 훼 ⊥ 훽 . BB Cho ⊥ , ⊂ 훼 . Mọi mặt phẳng 훽 chứa và vuông góc với thì 훽 ⊥ 훼 . C Cho ⊥ . Mọi mặt phẳng chứa đều vuông góc với . D Cho , . Mọi mặt phẳng 훼 chứa trong đó ⊥ , ⊥ thì đều vuông góc với mặt phẳng , . Lời Giải 훽 ⊥ Ta có ቊ ⇒ 훽 ⊥ 훼 . ⊂ 훼
23. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 2 Cho hình hộp chữ nhật . ′ ′ ′ ′. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và ′ ′ ′ ′ bằng A ′. B ′. C ′. D ′. Lời Giải B' C' D' ′ ′ ′ ′ ′ A' Ta có , = C B A D
24. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 3 Cho hình chóp tam giác 푆. có 푆 vuông góc với mặt phẳng , = 6, = 8, = 10. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 푆 và . A 12. B 8. CC 6. D 10. Lời Giải S Theo giả thiết, tam giác vuông tại nên là đoạn vuông góc chung của 푆 và . A B Vậy 푆 ; = = 6. C
25. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 4 Cho hình chóp 푆. trong đó 푆 , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết 푆 = 3 , = 3, = 6. Khoảng cách từ đến 푆 bằng A 2 3. B 3. C 2. D 2 . Lời Giải S Do ⊥ ; 푆 ⊥ suy ra ⊥ 푆 . Kẻ ⊥ 푆 . Vậy khoảng cách từ đến 푆 là , 3a 1 1 1 H trong tam giác vuông 푆 : = + A a 3 2 푆 2 2 B 2 2 Trong đó 푆 = 푆 + = 2 3, = 6 suy ra = 2 . a 6 C
26. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 2 Câu 5 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và chiều cao bằng . Tính số 2 đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy. A 30°. BB 45°. C 60°. D 75°. Lời Giải Giả sử hình chóp đã cho là 푆. có đường cao 푆 . Ta có: ∩ 푆 = . S Gọi là trung điểm của ⇒ dễ chứng minh được 푆 ⊥ và ⊥ . ෣ ෣ ෣ Suy ra , 푆 = , 푆 = 푆 . a 2 2 1 2 Mặt khác = = . B 2 2 C Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại , ta có: ? 푆 H M a 2 푆 2 2 푡 푛 푆 ෣ = = . = 1 ⇒ 푆 ෣ = 45°. A a 2 D 2 2
27. LỚP HÌNH HỌC BÀI 6 ÔN TẬP CHƯƠNG III (tiết 2) 11 Chương III Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. CHỨNG MINH HAI Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta chứng minh mặt MP VUÔNG GÓC phẳng này có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia Khoảng cách từ một điểm đến fKhoảng cách giữa đường CÁC DẠNG TOÁN một mặt phẳng thẳng và mặt phẳng song song TÍNH KHOẢNG CÁCH dKhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau