Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 1: Giới hạn của dãy số (Tiết 1)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 1: Giới hạn của dãy số (Tiết 1)

1. LỚP GIẢI BÀI 1 LỚPGIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 TÍCH Chương IV 11 GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN Bài 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiết 1) I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
2. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Định nghĩa Bài toán mở đầu Cho dãy số 푼 với 푼 = . 풏 풏 풏 a) Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển. 0 1 b) Hãy biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số. ퟒ c) Hãy tính khoảng cách từ 1; 10; 100; 2020; đến 0. 1 Khoảng cách từ tới 0 là = 1 Khoảng cách từ tới 0 là = 1 1 100 100 100 1 1 Khoảng cách từ tới 0 là = Khoảng cách từ tới 0 là = 10 10 10 2020 2020 2020
3. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Định nghĩa Bài toán mở đầu 1 0 Cho dãy số 푼 với 푼 = . 풏 풏 풏 ퟒ Câu hỏi 1: Em có nhận xét gì về sự thay đổi của các khoảng cách này khi 푛 trở nên rất lớn? Trả lời: Khi 푛 trở nên rất lớn các khoảng cách này càng ngày càng giảm nhỏ gần giá trị 0. Câu hỏi 2 : Bắt đầu từ số hạng 푛 nào của dãy số thì khoảng cách từ 푛 đến 0 nhỏ hơn 0,0001? 1 Ta có: 10000 푛 푛 ⇒ Từ 푛 = 10001 trở đi thì khoảng cách từ 푛 đến 0 nhỏ hơn 0,0001 1 Kết. luận: = có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi nghĩa 푛 푛 là 푛 có thể bé bao nhiêu cũng được miễn là 푛 đủ lớn.
4. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa 1 Ta nói dãy số 푛 có giới hạn là 0 khi 푛 dần tới dương vô cực nếu 푛 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim 푛 = 0 hoặc 푙푖 푛 = 0 hoặc 푛 → 0 푛→+∞ Định nghĩa 2 Ta nói dãy số 푣푛 có giới hạn là số ( hay 푣푛 dần tới ) Khi 푛 → +∞ nếu 푙푖 푣푛 − = 0. 푛→+∞ Kí hiệu 푙푖 푣푛 = hoặc lim푣푛 = hoặc 푣 → 푛→+∞
5. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 2 Một vài giới hạn đặc biệt 1 ① 푙푖 = 0 푛 1 ② 푙푖 = 0, với nguyên dương 푛 ③ 푙푖 푞푛 = 0 nếu 푞 < 1 ④ Nếu 푛 = ( là hằng số) thì lim 푛 = lim =
6. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí 1 a) Nếu 푙푖 푛 = ; 푙푖 푣푛 = . Khi đó: b) Nếu 푛 ≥ 0, ∀푛 và 푙푖 푛 ≥ 0 Thì 푙푖 푛 = . ① 푙푖 푛 + 푣푛 = 푙푖 푛 + 푙푖 푣푛 = + 3 3 ② 푙푖 푛 − 푣푛 = − c) 푙푖 푛 = và 푙푖 푛 = ③ 푙푖 푛. 푣푛 = . ④ 푙푖 푛 = ≠ 0 푣푛
7. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ d VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1 2푛+1 Tìm 푙푖 . 푛 Bài giải 2푛+1 1 1 Ta thấy: 푙푖 = 푙푖 2 + = 푙푖 2 + 푙푖 = 2 + 0 = 2 푛 푛 푛
8. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ d VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 2 3푛2−푛 Tìm 푙푖 . 1+푛2 Bài giải Chia cả tử và mẫu số cho 푛2 ta được: 1 3푛2 − 푛 3 − 3 푙푖 = 푙푖 푛 = = 3 2 1 1 1 + 푛 + 1 푛2
9. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ d VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 3 1+4푛2 Tìm 푙푖 1−2푛 Bài giải Chia cả tử và mẫu số cho 푛 ta được: 1 + 4푛2 1 + 4 1 + 4푛2 푛2 푛2 4 푙푖 = 푙푖 = 푙푖 = = −1 1 1 1 − 2푛 − 2 − 2 −2 푛 푛
10. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Ví dụ 1 1 Cho dãy số với = . Hãy viết dãy dưới dạng khai triển và nhận xét về công 푛 푛 2푛 푛 bội của nó. Bài giải 1 1 1 1 Dạng khai triển của là: ; ; ; ; ; 푛 2 4 8 2푛 1 Nhận xét: Dãy số trên là một cấp số nhân vô hạn có công bội 푞 = mà trong đó 푞 < 1 2 Ta thấy 푛 càng ngày càng giảm Ta gọi 푛 trên là cấp số nhân lùi vô hạn. Định nghĩa Cấp số nhân vô hạn 푛 có công bội 푞 với 푞 < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn
11. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 푛 1 1 − 푞 Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u ). Ta đã biết : 푆 = + +. . . + = n 푛 1 2 푛 1 − 푞 1−푞푛 Vì 푞 < 1 nên 푙푖 푞푛 = 0. Nên 푙푖 푆 = 푙푖 1 = 1 푛 1−푞 1−푞 Vậy: 푆 = + +. . . + +. . . = 푙푖 푆 = 1 푞 < 1 . 1 2 푛 푛 1−푞 Công thức 푆 = 1 1 − 푞
12. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Ví dụ 3 b) Tính tổng: c) Viết số thập phân a) Tính tổng của cấp số nhân lùi 푛−1 1 1 1 1 1 0, 1 dưới dạng vô hạn với = . 1 − + − +. . . + − +. . . 푛 푛 3푛 2 4 8 2 phân số. Bài giải b) Các số hạng của tổng lập c) Ta có: 0, 1 = 0,111. . . 1 a) Cấp số nhân = có thành cấp số nhân lùi vô 푛 3푛 = 0,1 + 0,01 + 0,001+. . . 1 1 hạn với 1 1 1 = ; 푞 = 1 = + + +. . . 1 3 3 = 1; 푞 = − 10 100 1000 1 1 1 1 1 2 Các số hạng của tổng lập thành 푆 = + + +. . . + 푛 +. . . 3 9 27 3 Vậy 푆 = 1 một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1−푞 1 1 1 3 1 1 2 1 = 푞 = = = = = = 10 10 1 − 푞 1 2 1 3 1 1 − 1 − − 1 10 1 3 Khi đó 0, 1 = = 1 = 2 1−푞 1− 9 10
13. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 Định nghĩa GIỚI HẠN Định lí về giới hạn hữu hạn DÃY SỐ (Tiết 1) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn