Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 1: Giới hạn của dãy số (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 1: Giới hạn của dãy số (Tiết 2)

1. LỚP GIẢI BÀI 1 LỚPGIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 TÍCH Chương IV 11 GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN Bài 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiết 2) I V GIỚI HẠN VÔ CỰC 1 Định nghĩa 2 Một vài giới hạn đặc biệt 3 Định lí 4 Ví dụ 5 Luyện tập
2. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ IV GIỚI HẠN VÔ CỰC 1 Định nghĩa Bài toán mở đầu Cho dãy số 푛 với 푛 = 푛 0 ퟒ 2020 a) Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển. b) Hãy biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số. Kết luận Ký hiệu: 푙푖 푛 = +∞ hay 푛 → +∞ khi 푛 → +∞ 푛 có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta nói dãy số 푛 có Dãy số 푛 được gọi là có giới hạn −∞ khi 푛 → +∞ nếu giới hạn +∞ 푙푖 − 푛 = +∞ Định nghĩa Ký hiệu: 푙푖 푛 = −∞ hay 푛 → −∞. Khi 푛 → +∞. Ta nói dãy số 푛 có giới hạn +∞ khi 푛 = +∞ Nhận xét: 푙푖 푛 = +∞ ⇔ 푙푖 − 푛 = −∞. nếu 푛 có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
3. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ IV GIỚI HẠN VÔ CỰC 2 Một vài giới hạn đặc biệt ① lim 푛 = +∞, với nguyên dương ② lim 푞푛 = +∞, nếu 푛 > 1 3 Định lí Định lí 2 푛 a) Nếu 푙푖 푛 = và 푙푖 푣푛 = ±∞ thì 푙푖 = 0. 푣푛 푛 b) Nếu 푙푖 푛 = > 0; 푙푖 푣푛 = 0 và 푣푛 > 0 với mọi 푛 thì 푙푖 = +∞. 푣푛 c) Nếu 푙푖 푛 = +∞ và 푙푖 푣푛 = > 0 thì 푙푖 푛 푣푛 = +∞.
4. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 4d VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1 2푛+5 Ví dụ 2 Tìm 푙푖 2 푛.3푛 Tìm 푙푖 푛 − 2푛 − 1 Bài giải Bài giải 2 1 Chia cả tử và mẫu cho 푛, ta được Ta có: 푛2 − 2푛 − 1 = 푛2 1 − − 5 푛 푛2 2푛 + 5 2 + 2 1 = 푛 Vì 푙푖 푛2 = +∞ và 푙푖 1 − − = 1 > 0 푛. 3푛 3푛 푛 푛2 5 2 2 1 Vì 푙푖 2 + = 2 > 0 nên 푙푖 푛 1 − − 2 = +∞ 푛 푛 푛 Vậy 푙푖 푛2 − 2푛 − 1 = +∞. và 푙푖 3푛 = +∞ 5 2푛+5 2+ nên 푙푖 = 푙푖 푛 = 0 3푛 3푛
5. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP Câu 1 Phát biểu nào sau đây là sai? 푛 A 푙푖 푛 = ( 푛 = là hằng số) B 푙푖 푞 = +∞ ( 푞 < 1 ) 1 1 C 푙푖 = 0. D 푙푖 = 0 ( nguyên dương). 푛 푛 Lời giải Vì 푙푖 푞푛 = 0 ( 푞 < 1 ) nên đáp án B sai
6. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP Câu 2 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 4 푛 4 푛 5 푛 1 푛 . − . − . . A 3 B 3 C 3 D 2 Lời giải 1 푛 1 Ta có: 푙푖 = 0 vì 푞 = < 1 2 2
7. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP Câu 3 푙푖 −2푛3 + 3푛2 + 1010 có giá trị bằng A 0. B +∞. CC −∞. D −2. Lời giải 10 Ta có: 푙푖 −2푛3 + 3푛2 + 1010 3 3 10 Vì 푙푖 푛 = +∞ và 푙푖 −2 + + 3 = −2 < 0 10 푛 푛 3 3 10 = 푙푖 푛 −2 + + 3 2 10 푛 푛3 Nên 푙푖 −2푛 + 3푛 + 10 = −∞ Lưu ý: giới hạn của dãy số trên bản chất phụ thuộc vào đại lượng chứa biến 푛 có mũ cao nhất −2푛3
8. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ Thử đoán kết quả của một số giới hạn sau: 1) 푙푖 2푛3 − 100푛 + 9 . KQ: +∞. 2) 푙푖 2푛4 − 푛2 + 푛 + 2. KQ: +∞. 3 3) 푙푖 1 + 2푛 − 푛3. KQ: −∞. Gợi ý thêm: 1 1 2 1 1 2 2) 푙푖 2푛4 − 푛2 + 푛 + 2 = 푙푖 푛4 2 − + + = 푙푖 푛2 2 − + + = +∞. 푛2 푛3 푛4 푛2 푛3 푛4 1 1 2 Do 푙푖 푛2 = +∞ và 푙푖 2 − + + = 2 > 0. 푛2 푛3 푛4 3 3 1 2 3) 푙푖 1 + 2푛 − 푛3 = 푙푖 푛 + − 1 = −∞. 푛3 푛2 3 1 2 Do 푙푖 푛 = +∞ và 푙푖 + − 1 = −1 < 0. 푛3 푛2
9. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP Câu 4 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 푛2−2푛 1−2푛 1−2푛2 1−2푛 A 푙푖 . 푙푖 . 푙푖 . 푙푖 . 5푛+5푛2 BB 5푛+5푛2 C 5푛+5 D 5푛−5 Lời giải 2 1 1−2푛2 푛 2−2 2 푛 2 1− Đáp án C: 푙푖 = 푙푖 5 푛 −2푛 푛 1 5푛+5 푛 5+ Đáp án A: 푙푖 = 푙푖 5 = 푛 5푛+5푛2 +5 5 1 푛 2 − 2 = 푙푖 푛 . 푛 = −∞ 5 1 2 5 + 1−2푛 2− 푛 푛 푛 1 Đáp án B: 푙푖 2 = 푙푖 5 = 0. −2 5푛+5푛 +5 푛2 2 푛 Vì 푙푖 푛 = +∞ và 푙푖 5 = − < 0. 5+ 5 푛
10. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP Câu 5 Giới hạn nào cho kết quả bằng 5? 5푛+1 5푛2+3푛+7 5푛2+2푛+1 5푛+1 푙푖 . 푙푖 . 푙푖 . 푙푖 . A 푛2+2푛+3 BB 푛2+1 C 푛+2 D 3−푛 Lời giải Kết quả: 5푛+1 푙푖 = 0. 푛2+2푛+3 5푛2+3푛+7 5 푙푖 = = 5. 푛2+1 1 5푛2+2푛+1 푙푖 = +∞. 푛+2 5푛+1 5 푙푖 = = −5. 3−푛 −1
11. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP 4푛2−푛+1−푛 Câu 6 Tìm 푙푖 . 9푛2+3푛 1 2 4 A . − . 0. . 3 BB 3 C D 9 Lời giải 1 1 4− + −1 4푛2−푛+1−푛 푛 2 2−1 1 푙푖 = 푙푖 푛 = = . 9푛2+3푛 3 3 3 9+ 푛
12. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP 1−2푛 Câu 7 Tìm 푙푖 . 1+2푛 2 A . B −1. 1. 2. 3 B C D Lời giải 1 푛 푛 − 1 1 − 2 2 푙푖 = 푙푖 = −1. 1 + 2푛 1 푛 + 1 2
13. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP 4푛 Câu 8 Tìm 푙푖 . 2.3푛+4푛+1 1 A 1. 0. . +∞. B CC 4 D Lời giải 4푛 4푛 1 1 푙푖 푛 푛+1 = 푙푖 푛 푛 = 푙푖 3 푛 = . 2.3 +4 2.3 +4.4 2. +4 4 4
14. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 5 LUYỆN TẬP Câu 9 Tính 푙푖 4푛2 + 푛 + 1 − 푛 . A +∞. B −∞. C 1. D 0. Lời giải 1 1 1 1 푙푖 4푛2 + 푛 + 1 − 푛 = 푙푖 푛 4 + + − 푛 = 푙푖 푛 4 + + − 1 = +∞. 푛 푛2 푛 푛2 Do 푙푖 푛 = +∞ và 1 1 Chú ý: Có thể kết luận kết quả của các giới hạn sau: 푙푖 4 + + 2 − 1 = 1. 푛 푛 1) 푙푖 푛2 + 푛 + 1 + 푛 = +∞. 2) 푙푖 푛4 + 3푛 + 1 − 푛 = +∞.
15. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ Câu 10 Tính 푙푖 4푛2 + 푛 + 1 − 2푛 . 1 +∞. −∞. 3. . A B C D 4 Lời giải 1 1 푙푖 4푛2 + 푛 + 1 − 2푛 = 푙푖 푛 4 + + − 2 Không xác định được vì rơi vào giới hạn vô định. 푛 푛2 1 1 Do 푙푖 푛 = +∞ và 푙푖 4 + + − 2 = 0. 푛 푛2 Bản chất giới hạn rơi vào dạng vô định ∞. 0 do giá trị của 4푛2 + 푛 + 1 phụ thuộc vào 4푛2 = 2푛. Khi 푛 → +∞. ⇒ Ta cần khử dạng vô định bằng cách sử dụng các biểu thức liên hợp. 2 − 2 = + − ⇒ Khử căn bậc hai. 3 − 3 = − 2 + + 2 ⇒ Khử căn bậc ba. 3 + 3 = + 2 − + 2 ⇒ Khử căn bậc ba. 4푛2+푛+1−2푛 4푛2+푛+1+2푛 Vậy 푙푖 4푛2 + 푛 + 1 − 2푛 = 푙푖 4푛2+푛+1+2푛 1 4푛2+푛+1−4푛2 푛+1 1+ 1 1 = 푙푖 = 푙푖 = 푙푖 푛 = = . 2 2 1 1 2+2 4 4푛 +푛+1+2푛 4푛 +푛+1+2푛 4+ + +2 푛 푛2
16. LỚP Đại số BÀI 1 11 Chương IV GIỚI HẠN DÃY SỐ 1+2+3+ + 2푛 Câu 11 Tính giới hạn: 푙푖 . 3푛2+4 2 1 A 0. . . +∞. B 3 C 3 D Lời giải 2푛 2푛+1 1 2 2+ 1+2+3+ + 2푛 2 2푛 +푛 푛 2 푙푖 = 푙푖 = 푙푖 = 푙푖 4 = . 3푛2+4 3푛2+4 3푛2+4 3+ 3 푛2 Chú ý: Một số tổng đặc biệt: 푛 푛+1 1) 1 + 2 + 3 + 4+. . . +푛 = . 2 푛 푛+1 2푛+1 2) 12 + 22 + 32+. . . +푛2 = . 6 푛2 푛+1 2 3) 13 + 23 + 33+. . . +푛2 = . 4