Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 1: Giới hạn của dãy số (Tiết 3)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 1: Giới hạn của dãy số (Tiết 3)

1. LỚP GIẢI BÀI 1 LỚPGIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 TÍCH Chương IV 11 GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN Bài 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiết 3) I LÝ THUYẾT CẦN NHỚ II LUYỆN TẬP
2. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 I I LÍ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Các giới hạn đặc biệt 1 . 푙𝑖 = 0. Với nguyên dương. 푛 b. 푙𝑖 푞푛 = 0 nếu 푞 1. 2. Tổng của cấp số nhận lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn 푛 có công bội 푞 với 푞 < 1 푆 = + +. . . + +. . . = 1 1 2 푛 1−푞
3. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 I 3 Các định lí về giới hạn. Định lí 1 a) Nếu 푙𝑖 푛 = ; 푙𝑖 푣푛 = . Khi đó: 푙𝑖 푛 + 푣푛 = 푙𝑖 푛 + 푙𝑖 푣푛 = + . 푙𝑖 푛 − 푣푛 = − . 푙𝑖 푛 = ≠ 0 . 푣푛 b) Nếu 푛 ≥ 0 ∀푛 và 푙𝑖 푛 = 푡ℎì ≥ 0 và 푙𝑖 푛 = . 3 3 c) 푙𝑖 푛 = và 푙𝑖 푛 = .
4. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 I 3 Các định lí về giới hạn. Định lí 2 푛 a) Nếu 푙𝑖 푛 = và 푙𝑖 푣푛 = ±∞ thì 푙𝑖 = 0. 푣푛 b) Nếu 푙𝑖 푛 = > 0; 푙𝑖 푣푛 = 0 và 푣푛 > 0 với mọi 푛 thì 푙𝑖 푛 = +∞. 푣푛 c) Nếu 푙𝑖 푛 = +∞ và 푙𝑖 푣푛 = > 0 thì 푙𝑖 푛 푣푛 = +∞.
5. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1 : Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số có chứa căn Dạng 3 : Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa. Ví dụ 1
6. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1 : Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ 푃 푛 * ) Khi ( ) = (trong đó 푃 푛 và 푄 푛 là các là các đa thức của 푛) 푛 푄 푛 Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho 푛 với 푛 là lũy thừa có số mũ cao nhất của 푃 푛 và 푄 푛 , sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn k *) Khi (un) là đa thức bậc k, ta đặt n làm nhân tử chung, sau đó sử dụng định Ví dụlí 2 về1 giới hạn
7. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II CÁC DẠNG BÀI TẬP 1 Dạng 1 : Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ Bài 1 2푛3−3푛2+2 Tính 푙𝑖 2− 푛4 AA. 0. B. +∞ C. Không tồn tại. D. −∞. Bài giải Chọn A 2 3 2 3 2 − + 2푛 − 3푛 + 2 푛 2 4 0 푙𝑖 = 푙𝑖 푛 푛 = = 0 4 2 −1 2 − 푛 − 1 푛4
8. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II CÁC DẠNG BÀI TẬP 1 Dạng 1 : Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ Bài 2 Tính 푙𝑖 −2푛3 + 3푛 − 1 A. +∞ . B. − . CC. −∞ . D. Không tồn tại Bài giải Chọn C 3 1 푙𝑖 −2푛3 + 3푛 − 1 = 푙𝑖 푛3 −2 + − = −∞ 푛2 푛3 3 1 Vì 푙𝑖 푛3 = +∞ ; 푙𝑖 −2 + − = −2 . 푛2 푛3
9. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II CÁC DẠNG BÀI TẬP 1 Dạng 1 : Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ 3 Bài 3 2푛−1 3푛2+2 Tính 푙𝑖 −2푛5+4푛3−1 AA. −∞. B. +∞. C. − . D. − . Bài giải Chọn A Chia cả tử và mẫu cho 푛7 ta có : 3 3 1 2 2푛−1 3푛2+2 1 2 3 2 3 . 2− 3+ 2 − 3 + 2푛−1 3푛 +2 6 푛 2 푛 2 푙𝑖 = 푙𝑖 푛 푛 = 푙𝑖 푛 2 푛 = −∞. −2푛5+4푛3−1 1 −2푛5+4푛3−1 1 4 1 = 푙𝑖 푛 . 2 −2+ 2− 5 4 1 푛2 푛5 푛 푛 푛 −2 + − 푛2 푛5 1 2 3 2− 3+ 2 푛 푛2 Vì 푙𝑖 푛 = +∞ ; lim 4 1 = −27 −2+ − 푛2 푛5
10. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số có chứa căn. Hướng 1: Đánh giá bậc của tử và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫu cho 푛 với k là số mũ lớn nhất của 푃 푛 và 푄 푛 (hoặc rút 푛 là lũy thừa lớn nhất của 푃 푛 và 푄 푛 ra làm nhân tử). Áp dụng các định lí về giới hạn để tìm giới hạn Hướng 2: Nhân với biểu thức liên hợp Ví dụ 1
11. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II BÀI TẬP Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số có chứa căn. Bài 4 2푛+2− 푛 Tìm 푙𝑖 푛 퐀. 0 퐁. 2 C퐂. 2 − 1 퐃. 2 Bài giải Chọn C 2푛+2− 푛 2푛+2− 푛 푛 2 푙𝑖 = 푙𝑖 = lim 2 + − 1 = 2 − 1 푛 푛 푛 푛
12. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II BÀI TẬP Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số có chứa căn. Bài 5 Tính : 푙𝑖 푛2 − 푛 4푛 + 1 AA. +∞. B. −∞. C. 1. D. 0. Bài giải Chọn A 4 1 lim(푛2 − 푛 4푛 + 1 ) = lim 푛2 1 − + = +∞ 푛 푛2 Vì 푙𝑖 푛2 = +∞ Chú ý: Có thể kết luận kết quả của các giới hạn sau: 4 1 2 và 푙𝑖 1 − + = 1 > 0 1) 푙𝑖 푛 + 푛 + 1 + 푛 = +∞. 푛 푛2 2) 푙𝑖 푛4 + 3푛 + 1 − 푛 = +∞.
13. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II BÀI TẬP Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số có chứa căn. Bài 6 풍풊 풏 − 풏 + 풏 + bằng bao nhiêu? A. +∞. BB. −∞. C. − . D. . Bài giải Chọn B 3 3 3 2 푙𝑖 푛 − 8푛3 + 3푛 + 2 = 푙𝑖 푛 1 − 8 + + 푛2 푛3 = −∞. 3 3 2 Vì 푙𝑖 1 − 8 + + = −1 < 0 và 푙𝑖 푛 = +∞. 푛2 푛3
14. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II BÀI TẬP Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số có chứa căn. Bài 7 4푛2+1−2푛 Tính 푙𝑖 푛2+4푛+1−푛 A. +∞. B. −∞. C. 2. D D. 0. Bài giải 4푛2+1−2푛 4푛2 + 14푛−2+21−푛2푛 4푛2 + 1 − 2푛 4푛2 + 1 + 2푛 푛2 + 4푛 + 1 + 푛 Hướng푙𝑖 1: 푙𝑖 ==푙𝑖 푙𝑖 푛 Không xác định được vì rơi vào giới hạn 2 푛2+4푛+1−푛 푛22+4푛+1−푛 2 2 푛 + 4푛 + 1 − 푛 푛 +푛 4푛 + 1 − 푛 푛 + 4푛 + 1 + 푛 4푛 + 1 + 2푛 0 1 4 1 vô định dạng 1 + + + 1 0푛2 + 4푛 + 1 + 푛 푛 푛 푛2 = 푙𝑖 = 푙𝑖 = 0 Chọn D 4푛 + 1 4푛2 + 1 + 2푛 1 1 4 + 4 + + 2 푛 푛2
15. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 3 : Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa. 푃 푛 ( ) = (trong đó 푃 푛 và 푄 푛 là các biểu thức chứa hàm mũ 푛, 푛, 푛, . . . 푛 푄 푛 Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho 푛 trong đó a là cơ số lớn nhất. Ví dụ 1
16. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II BÀI TẬP Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa. Bài 8 1−3푛+1 Tìm 푙𝑖 . 1+3푛 2 A. . B. −1. C. 1. D D. −3. 3 Bài giải Chọn D 1 푛 푛+1 푛 − 3 1 − 3 1 − 3. 3 3 푙𝑖 = 푙𝑖 = 푙𝑖 = -3. 1 + 3푛 1 + 3푛 1 푛 + 1 3
17. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II BÀI TẬP Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa. Bài 9 9푛−3.4푛 Tìm : 푙𝑖 6.7푛+8푛 A. . B. +∞ . C. − . D. −∞ . Bài giải Chọn B 4 푛 1 − 3. 9푛 − 3. 4푛 9 = +∞ 푙𝑖 = 푙𝑖 6. 7푛 + 8푛 7 푛 8 푛 6 + 9 9 4 푛 7 푛 8 푛 7 푛 8 푛 Vì lim 1 − 3. =1 > 0; lim 6 + =0; 6 + > 0 9 9 9 9 9
18. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 II BÀI TẬP Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa. . Bài 10 풍풊 풏 − 풏 bằng A. −∞. B. . C. +∞. D. . C Bài giải Chọn C 2 푛 Ta có 5푛 − 2푛 = 5푛 1 − = +∞. 5 2 푛 Vì 푙𝑖 5푛 = +∞ và 푙𝑖 1 − = 1 > 0 5
19. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 11 Chương 4 Các giới hạn đặc CÁC DẠNG BÀI TẬP biệt Dạng 1 : Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ Dạng 2 : Tính giới hạn dãy số có chứa căn GIỚI HẠN Tổng của cấp số DÃY SỐ nhân lùi vô hạn Dạng 3 : Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa. TÌM HIỂU THÊM MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC Hai định lí về giới 1. Giới hạn dãy số cho bằng công thức truy hồi hạn 2. Bài tập liên quan tới tổng cấp số nhân lùi vô hạn