Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 2: Giới hạn của hàm số

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài 2: Giới hạn của hàm số

1. LỚP LỚP GIẢI TÍCH BÀI 9 LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA 12 Chương II 11 GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1 Định nghĩa 2 Định lý về giới hạn hữu hạn 3 Giới hạn một bên II GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC III GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
2. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1 Định nghĩa Định nghĩa Cho khoảng 퐾 chứa điểm 0 và hàm số = xác định trên 퐾\ 0 . Ta nói hàm số = có giới hạn là số 퐿 khi tiến đến 0 nếu với mọi dãy số 푛 bất kì, 푛 ∈ 퐾\ 0 và 푛 → 0, ta có 푛 → 퐿. Kí hiệu: 푙𝑖 = 퐿 hay → 퐿 khi → 0. → 0
3. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1 Định nghĩa Nhận xét 퐥퐢퐦퐱 = 퐱 ; 1 퐱→퐱 퐥퐢퐦퐜 = 퐜 (c: hằng số). 2 퐱→퐱
4. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 2 Định lý về giới hạn hữu hạn Định lý a) Giả sử 푙𝑖 ( ) = 퐿 và 푙𝑖 ( ) = . Khi đó: → 0 → 0 • 푙𝑖 ( ) + ( ) = 퐿 + → 0 • 푙𝑖 ( ) − ( ) = 퐿 − → 0 • 푙𝑖 ( ). ( ) = 퐿. → 0 ( ) 퐿 • 푙𝑖 = (nếu M 0) → 0 ( )
5. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 2 Định lý về giới hạn hữu hạn Định lý b) Nếu f(x) 0 và 푙𝑖 ( ) = 퐿 thì L 0 và 푙𝑖 ( ) = 퐿. → 0 → 0 c) Nếu 푙𝑖 ( ) = 퐿 thì 푙𝑖 ( ) = 퐿 . → 0 → 0
6. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 2 Định lý về giới hạn hữu hạn Ví dụ 1. Tính = 풍풊 풙 − 풙 + . 풙→− Lời giải 풍풊 풙2 − 2풙 + 3 = −1 2 − 2 −1 + 3 = 6. 풙→−1
7. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 2 Định lý về giới hạn hữu hạn Ví dụ 2. 풙 − Tính 풍풊 . 풙→ 풙 −ퟒ Lời giải 3 − 8 ( − 2)( 2 + 2 + 4) 푙𝑖 = 푙𝑖 →2 2 − 4 →2 ( − 2)( + 2) 2 + 2 + 4 12 = 푙𝑖 = = 3 →2 + 2 4
8. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 3 Giới hạn một bên Định nghĩa Cho hàm số xác định trên 0; . Số 퐿 được gọi là giới hạn bên phải của hàm số khi → 0 nếu với mọi dãy số 푛 bất kì, 0 < 푛 < và 푛 → 0, ta có 푛 → 퐿. Kí hiệu: 풍풊 풇(풙) = 푳. + 풙→풙
9. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 3 Giới hạn một bên Định nghĩa Cho hàm số xác định trên ; 0 . Số 퐿 được gọi là giới hạn bên trái của hàm số khi → 0 nếu với mọi dãy số 푛 bất kì, < 푛 < 0 và 푛 → 0, ta có 푛 → 퐿. Kí hiệu: 풍풊 −풇(풙) = 푳. 풙→풙
10. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 3 Giới hạn một bên Định lý 푙𝑖 ( ) = 퐿 khi và chỉ khi 푙𝑖 ( ) = 푙𝑖 ( ) = 퐿. − + → 0 → 0 → 0
11. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 3 Giới hạn một bên Ví dụ 1. 풙 − , 풌풉풊 풙 < Tính 풍풊 풇 풙 với 풇 풙 = ൝ . 풙→ − 풙 + , 풌풉풊 풙 ≥ Lời giải Cách 1 : Tự luận 푙𝑖 = 푙𝑖 ( − 3) = −2 →1− →1− Ta có ቐ 푙𝑖 = 푙𝑖 1 − 7 2 + 2 = −2 →1+ →1+ 풍풊 풇 풙 = 풍풊 풇 풙 = − ⇒ 풍풊 풇 풙 = − 풙→ − 풙→ + 풙→
12. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 3 Giới hạn một bên Ví dụ 1. − 3, ℎ𝑖 < 1 Tính 푙𝑖 với = ቊ . →1 1 − 7 2 + 2, ℎ𝑖 ≥ 1 Lời giải Cách 2: Sử dụng máy tính Bấm máy tính như sau − 3 CACL = 1 − 10−10 ta được đáp án bằng −2 . Bấm máy tính như sau 1 − 7 2 + 2 CACL = 1 + 10−10 ta được đáp án bằng − 2. 풍풊 풇 풙 = 풍풊 풇 풙 = − ⇒ 풍풊 풇 풙 = − 풙→ − 풙→ + 풙→
13. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA CỦNG CỐ 1 Câu hỏi lý thuyết Câu 1 Giả sử 푙𝑖 = 퐿. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai: → 0 A. 푙𝑖 = 퐿 B. 푙𝑖 3 = 3 퐿 → 0 → 0 C. 푙𝑖 = 퐿 D. 푙𝑖 − = −퐿 → 0 → 0 Lời giải Theo định lý ta có 푙𝑖 = 퐿 nếu 퐿 > 0. → 0
14. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA CỦNG CỐ 2 풇 풙 xác định tại 풙 Câu 2 풕 풏 풙+ Tính = 풍풊 흅 : 풙→ 풔풊풏 풙+ ퟒ + A. +∞. B. −∞. C. . D. . Lời giải 2 푡 푛 +1 6 4 3+6 Cách 1: Tự luận = = . 푠푖푛 +1 9 6 Cách 2: Sử dụng máy tính Chuyển qua chế độ Radian 2 푡 푛 +1 Bấm máy tính như sau CACL = + 10−9 và so đáp án. 푠푖푛 +1 6
15. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA CỦNG CỐ 2 풇 풙 xác định tại 풙 Câu 3 풙+ Cho 푪 = 풍풊 . Tìm m để 푪 = 5 풙→ 풙+ A. 3. B. 14. C. 3. D. . Lời giải 3 + 6 + = 푙𝑖 = , →2 + 2 4 6 + = 5 ⇔ = 5 ⇔ = 14 4
16. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA CỦNG CỐ 3 Phân thức hữu tỷ Câu 4 풙 + 풙+ Tính = 풍풊 : 풙→− 풙 + A. −∞. B. . C. . D. +∞. Lời giải Cách 1: Tự luận 2 + 2 + 1 + 1 2 = 푙𝑖 = 푙𝑖 →−1 2 3 + 2 →−1 2 + 1 2 − + 1 + 1 = 푙𝑖 = 0 →−1 2 2 − + 1
17. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA CỦNG CỐ 3 Phân thức hữu tỷ Câu 4 풙 + 풙+ Tính = 풍풊 : 풙→− 풙 + A. −∞. B. . C. . D. +∞. Lời giải Cách 2: Sử dụng máy tính 2+2 +1 Bấm vào màn hình và CACL = −1 + 10−9 và so đáp án. 2 3+2
18. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA CỦNG CỐ 4 chứa căn Câu 5 ퟒ풙+ − Tính = 풍풊 . 풙→ 풙 −ퟒ A. 0. B. . C. 2. D. -2. Lời giải Cách 1: Tự luận ( ퟒ풙 + − )( ퟒ풙 + + ) ퟒ풙 + − = 풍풊 = 풍풊 풙→ (풙 − ퟒ)( ퟒ풙 + + ) 풙→ (풙 − ퟒ)( ퟒ풙 + + ) ퟒ풙 − ퟒ = 풍풊 = 풍풊 = 풙→ (풙 − ퟒ)( ퟒ풙 + + ) 풙→ (풙 + )( ퟒ풙 + + )
19. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA CỦNG CỐ 4 chứa căn Câu 5 ퟒ풙+ − Tính = 풍풊 . 풙→ 풙 −ퟒ A. 0. B. . C. 2. D. -2. Lời giải Cách 2: Sử sụng máy tính 4 +1−3 Bấm máy tính như sau và CACL = 2 + 10−10 và so đáp án. 2−4
20. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA CỦNG CỐ 5 Giới hạn một bên Câu 6 풙− Tính = 풍풊 풙→ − 풙− − A. B. C. D. −∞ Lời giải −3 − +3 −1 Cách 1 : Tự luận = 푙𝑖 = 푙𝑖 = →3− 5 −15 →3− 5 −15 5 Cách 2: Sử dụng máy tính −3 Bấm máy tính như sau và CACL = 3 − 10−10 và so đáp án. 5 −15
21. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA BÀI TẬP VỀ NHÀ - Bài 3a,b,c sgk trang 132. - Bài tập bổ sung: Câu 1. Tính 푙𝑖 2 − + 7 . Câu 4. Tìm các giá trị thực của tham số để →−1 3 3 +2−2 A. 5. B. 9. C. 0. D. 7. khi > 2 hàm số = ൞ −2 để tồn 1 2−5 +4 + khi ≤ 2 Câu 2. Tính = 푙𝑖 . 4 2−1 →1 tại 푙𝑖 . →2 1 3 1 1 A. − B. − C. − D. − 2 2 4 3 A. = . B. = . −3 Câu 3. Tính 푙𝑖 . C. = . D. = . →3+ 2−9 A. −∞ B. 0 C. 6 D. +∞
22. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 3(sgk trang 132) Tính các giới hạn sau: 풙 − ퟒ−풙 풙+ − a) 풍풊 b) 풍풊 c) 풍풊 풙→− 풙+ 풙→− 풙+ 풙→ 풙− Lời giải 2−1 a) 푙𝑖 = 푙𝑖 − 1 = −4. →−3 +1 →−3 4− 2 b) 푙𝑖 = 푙𝑖 2 − = 4. →−2 +2 →−2 2 +3−3 +3 −32 1 1 c) 푙𝑖 = 푙𝑖 = 푙𝑖 = →6 −6 →6 −6 +3+3 →6 +3+3 6
23. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập bổ sung Câu 1. Tính 푙𝑖 2 − + 7 . →−1 A. 5. B. 9. C. 0. D. 7. Lời giải Ta có 푙𝑖 2 − + 7 = 푙𝑖 −1 2 − −1 + 7 = 9. →−1 →−1
24. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập bổ sung 풙 − 풙+ퟒ Câu 2. Tính 푰 = 풍풊 . 풙→ 풙 − A. − B. − C. − D. − ퟒ Lời giải −1 −4 −4 3 Ta có = 푙𝑖 = 푙𝑖 = − . →1 −1 +1 →1 +1 2
25. LỚP BÀI 2 GIẢIGIẢI TÍCHTÍCH BÀI 9 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1211 ChươngChương IIVI LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập bổ sung 3 3 +2−2 khi > 2 Câu 3. Tìm các giá trị thực của tham số để hàm số = ൞ −2 để tồn tại 푙𝑖 . 1 + khi ≤ 2 →2 4 A. = 0. B. = 3. C. = 2. D. = 1. Lời giải 3 3 +2−2 3 1 Ta có 푙𝑖 = 푙𝑖 = 푙𝑖 3 3 = . →2+ →2+ −2 →2+ 3 +2 2+2 3 +2+4 4 1 1 푙𝑖 = 푙𝑖 + = 2 + . →2− →2− 4 4 1 1 Hàm số có giới hạn tại = 2 ⇔ 푙𝑖 = 푙𝑖 ⇔ 2 + = ⇔ = 0. →2+ →2− 4 4