Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài: Ôn tập chương IV (Tiết 1)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài: Ôn tập chương IV (Tiết 1)

1. LỚP LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN1 1TẬP CHƯƠNG IV GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN ÔN TẬP CHƯƠNG (tiết 1) I TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Giới hạn của dãy số 2 Giới hạn của hàm số 3 Hàm số liên tục II CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
2. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV TÓM TẮT LÍ THUYẾT  lim = ( là hằng số) 1 1  lim =0; lim =0 với nguyên dương Giới hạn đặc biệt 푛 푛 GIỚI HẠN CỦA  lim 푞푛 = 0 (với 푞 1) DÃY SỐ Định  lim 푛 = + ∞ với nguyên dương Định lí về giới lí Định hạn hữu hạnNếu 퐥퐢퐦 풖풏 = ; 퐥퐢퐦 풗풏 = , khi đó:  lim + 푣 = +  lim − 푣 = − lí 푛 푛 푛 푛 về 푛 Tổng của CSN lùi vô hạn  lim 푛. 푣푛 = .  lim = ≠ 0 giới 푣푛  Nếu 푛 ≥ 0 với mọi 푛 thì ≥ 0 và lim 푛 = CSN có số hạng đầu 1, công bội 푞 hạn với 푞 0 và lim 푣푛 = 0, ∀푛 ⇒ lim = +∞ 푣푛  lim 푛 = +∞ và lim 푣푛 = > 0 ⇒ lim( 푛. 푣푛) = +∞
3. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV TÓM TẮT LÍ THUYẾT Nếu lim ( ) = 퐿; lim ( ) = , khi đó: → 0 → 0  lim = +∞ với nguyên dương  lim ± ( ) = 퐿 ± →+∞ → 0  lim = −∞ với lẻ  lim . ( ) = 퐿. →−∞ → 0  lim = +∞ với chẵn ( ) 퐿 →−∞  lim = (với ≠ 0) Định lí về giới hạn hữu→ 0 hạn ( )  Nếu ( ) ≥ 0, ∀ thì 퐿 ≥ 0 và lim = 퐿 Giới hạn đặc biệt → 0 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Q u y t ắc tí Dấu nh lim ( ) lim ( ) lim giớ → 0 → 0 i h của ( ) → 0 ạn củ lim ( ) lim ( ) lim . ( ) a th ương → 0 → 0 → 0 퐿 ±∞ Tùy ý 0 +∞ +∞ + +∞ 퐿 > 0 Quy tắc tính giới hạn của tích 퐿 > 0 0 −∞ −∞ − −∞ +∞ −∞ + −∞ 퐿 < 0 퐿 < 0 0 −∞ +∞ − +∞
4. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV TÓM TẮT LÍ THUYẾT Cho hàm số ( ) xác định trên khoảng 퐾. ( ) liên tục tại điểm 0 ∈ 퐾 ⇔ lim = ( 0) → Các hàm số đa thức, phân thức hữu 0 tỉ, các hàm số lượng giác liên tục trên các khoảng xác định của chúng. Hàm số liên tục tại 1 điểm Định lí 1  Hàm số ( ) liên tục trên khoảng 퐾 ⇔ ( ) liên tục tại mọi điểm thuộc 퐾 HÀM SỐ  Hàm số ( ) liên tục trên đoạn ; ⇔ ( ) LIÊN TỤC liên tục tại trên khoảng ; và lim = , lim = ( ) Hàm số liên tục trên khoảng/đoạn → + → − ịnh lí 2 Đ Định lí 3 = , = liên tục tại 0, khi đó  = ± và = . liên tục tại 0 Hàm số = liên tục trên ; 푣à < 0 ⇒ phương trình = 0  = liên tục tại 0 푛ế ( 0) ≠ 0 ( ) có ít nhất 1 nghiệm 0 ∈ ;
5. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV CÁC DẠNG BÀI TẬP 푛 1. Giới hạn dãy số hữu tỉ = 푛 푛 2. Giới hạn dãy số chứa mũ − lũy thừa 푛 GIỚI HẠN CỦA 3. Giới hạn của dãy số có chứa căn DÃY SỐ 4. Dạng vô định ∞ − ∞ 5. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
6. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 1 (Bài tập 3 SGK, trang 141) 풏 − 풏 − 풏 − . ퟒ풏 = 퐥퐢퐦 푯 = 퐥퐢퐦 풏 + 풏 − 풏 푵 = 퐥퐢퐦 푶 = 퐥퐢퐦 풏 + 풏 + − ퟒ풏 Bài giải 1 1 1 2 1 2 푛 3 − 3 − 푛 − − 3푛 − 1 푛 푛 푛 − 2 푛 푛 푛 푛 = lim = lim = lim = 푵 = lim = lim = lim = 푛 + 2 2 2 7 7 푛 1 + 1 + 3푛 + 7 푛 3 + 3 + 푛 푛 푛 푛 푯 = lim 푛2 + 2푛 − 푛 2 2 푛 + 2푛 − 푛 푛 + 2푛 + 푛 푛 = lim 3푛 3 2 푛 푛 − 5 푛 + 2푛 − 푛 3 − 5.4 푛 − 5 4 푶 = lim = lim 4 = lim = 2푛 2 1 − 4푛 1 1 푛 = lim = lim = 푛 − 1 − 1 푛2 + 2푛 + 푛 2 4 4 1 + + 1 푛 Mã hóa 1530 được dịch thành HOAN. Tên học sinh là Hoan.
7. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 2 Tính các giới hạn sau: 풏 + 풏 + 퐚) 퐥퐢퐦 퐛)퐥퐢퐦 풏 + 풏 − 풏 − 풏 풏 + 풏 + ퟒ Bài giải + + 풏 + 풏 + 풏 풏 퐚) 퐥퐢퐦 = 퐥퐢퐦 = ퟒ 풏 + 풏 + ퟒ + + 풏 풏 풏 + 풏 − 풏 − 풏 풏 + 풏 + 풏 − 풏 퐛) 퐥퐢퐦 풏 + 풏 − 풏 − 풏 = 퐥퐢퐦 풏 + 풏 + 풏 − 풏 ퟒ풏 ퟒ ퟒ = 퐥퐢퐦 = 퐥퐢퐦 = = + 풏 + 풏 + 풏 − 풏 + + − 풏 풏
8. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 3 Tính các giới hạn sau: 퐚) 퐥퐢퐦 −ퟒ풏 + 풏 + 퐛) 퐥퐢퐦 풏 − 풏 + 풏 + ퟒ 퐜) 퐥퐢퐦 풏 − 풏 ퟒ풏 + Bài giải 퐚)퐥퐢퐦 −ퟒ풏 + 풏 + = 퐥퐢퐦풏 −ퟒ + + = −∞ 풏 풏 Vì 퐥퐢퐦 풏 = +∞ và 퐥퐢퐦 −ퟒ + + = −ퟒ 풏 풏 ퟒ 퐛)퐥퐢퐦 풏 − 풏 + 풏 + ퟒ = 퐥퐢퐦 풏 − + + = +∞ 풏 풏 ퟒ Vì퐥퐢퐦 풏 = +∞ và 퐥퐢퐦 − + + = − > 풏 풏
9. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 3 Tính các giới hạn sau: 퐚) 퐥퐢퐦 −ퟒ풏 + 풏 + 퐛) 퐥퐢퐦 풏 − 풏 + 풏 + ퟒ 퐜) 퐥퐢퐦 풏 − 풏 ퟒ풏 + Bài giải ퟒ 퐜) 퐥퐢퐦 풏 ퟒ풏 + − 풏 = 퐥퐢퐦풏 + − = −∞ 풏 풏 ퟒ ퟒ Vì 퐥퐢퐦풏 + − = +∞ và 퐥퐢퐦 + − = − 풏 풏 풏 풏
10. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 4 + + + ⋯ + 풏 Tính 퐥퐢퐦 풏 + Bài giải 풏 풏 + 풏 + 풏 Ta có + + + ⋯ + 풏 = = 풏 + 풏 + + + ⋯ + 풏 풏 + 풏 + Do đó 퐥퐢퐦 = 퐥퐢퐦 = 퐥퐢퐦 = 퐥퐢퐦 풏 = 풏 + 풏 + 풏 + + 풏
11. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 5 Tính tổng 푺 = − + − + ⋯ Bài giải Dãy , − , , − , là cấp số nhân với 풖 = , 풒 = − 풖 Do đó 푺 = − + − + ⋯ = = = − 풒 − − ퟒ
12. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 6 풖 = Cho dãy số 풖풏 : ቊ . Tính 퐥퐢퐦 풖풏 풖풏+ = 풖풏 − , 풏 ≥ Bài giải Cách 1: Giải tự luận ∗ Tìm số hạng tổng quát của 풖풏. Đặt 풖풏 = 풗풏 + ∗ ⇒ 풖풏+ = 풗풏+ + Khi đó 풖풏+ = 풖풏 − ⇔ 풗풏+ + = 풗풏 + − ⇔ 풗풏+ = 풗풏 풏− 풏− 풏− Suy ra 풗풏 là cấp số nhân ⇒ 풗풏 = 풗 . = . = 풏− Thay vào ∗ , ta được 풖풏 = + ∗ Khi đó 퐥퐢퐦 풖 = 퐥퐢퐦 풏− + = 퐥퐢퐦 풏− + = +∞ 풏 풏− Do 퐥퐢퐦 풏− = +∞ và 퐥퐢퐦 + = 풏−
13. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 6 풖 = Cho dãy số 풖풏 : ቊ . Tính 퐥퐢퐦 풖풏 풖풏+ = 풖풏 − , 풏 ≥ Bài giải Cách 2: Sử dụng MTCT Bấm dãy phím Màn hình sẽ hiển thị Sau đó bấm phím liên tục. Nhận thấy kết quả tăng lên rất nhanh ⇒ 퐥퐢퐦풖풏 = + ∞
14. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
15. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Cho hai dãy số 풖풏 và 풗풏 . Biết 퐥퐢퐦 풖풏 = và 퐥퐢퐦 풗풏 = . Chọn khẳng định sai. 풖풏 A. 퐥퐢퐦 = B. 퐥퐢퐦 풖풏 + 풗풏 = + 풗풏 C. 퐥퐢퐦 풖풏 + = + D. 퐥퐢퐦 풖풏 − 풗풏 = − Bài giải Chọn A. Theo định lí về giới hạn hữu hạn, ta có đáp án B và D đều Đúng. C. 퐥퐢퐦 풖풏 + = 퐥퐢퐦풖풏 + 퐥퐢퐦 = + ⇒ Đáp án C Đúng 풖풏 A. 퐥퐢퐦 = chỉ đúng nếu ≠ . ⇒ Đáp án A Sai 풗풏
16. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 Cho hai dãy số 풖풏 và 풗풏 . Biết 퐥퐢퐦 풖풏 = và 퐥퐢퐦 풗풏 = +∞. Chọn khẳng định đúng 풖풏 풗풏 풖풏 + A. 퐥퐢퐦 = +∞ B. 퐥퐢퐦 = C. 퐥퐢퐦 풖풏. 풗풏 = +∞ D. 퐥퐢퐦 = +∞ 풗풏 풖풏 풗풏 Bài giải Theo quy tắc tính giới hạn vô cực của dãy số, ta thấy đáp án C đúng. Chọn C. 풖 풗 풖 + 퐥퐢퐦 풏 = , 퐥퐢퐦 풏 = +∞, 퐥퐢퐦 풏 = 풗풏 풖풏 풗풏
17. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 풏 − ퟒ풏+ Tính giới hạn 퐥퐢퐦 풏+ + ퟒ풏 A. − ퟒ B. C. − ∞ D. − Bài giải Cách 1: Giải tự luận Cách 2: Sử dụng MTCT 풏 − ퟒ풏+ 풏 − ퟒ.ퟒ풏 퐥퐢퐦 = 퐥퐢퐦 Nhập vào biểu thức 풏+ + ퟒ풏 . 풏 + ퟒ풏 풏 ퟒ풏 − ퟒ ퟒ풏 Bấm phím CALC = 퐥퐢퐦 풏 풏 (Vì x là số mũ, ퟒ 풏 + 푿? Chọn 푿 = ퟒ nên chọn < 100) 풏 − ퟒ ퟒ = 퐥퐢퐦 = −ퟒ 풏 + Kết quả ퟒ Chọn A.
18. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 풖 = Cho dãy số 풖풏 : ቐ . Tính 퐥퐢퐦 풖풏 풖풏+ = + 풖풏, 풏 ≥ A. 퐥퐢퐦 풖풏 = − B. 퐥퐢퐦 풖풏 = 2 C. 퐥퐢퐦 풖풏 = D. 퐥퐢퐦 풖풏 = +∞ Bài giải Sử dụng MTCT Bấm dãy phím Màn hình sẽ hiển thị Sau đó bấm phím liên tục. Nhận thấy kết quả tiến dần đến 2 ⇒ 퐥퐢퐦풖풏 = Chọn B.
19. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 퐬퐢퐧풏 − ퟒ퐜퐨퐬풏 Tính giới hạn 퐥퐢퐦 풏 + A. B. 3 C. D. Bài giải Cách 1: Giải tự luận ퟒ Ta có 퐬퐢퐧풏 − ퟒ퐜퐨퐬풏 = 퐬퐢퐧풏 − 퐜퐨퐬풏 = 퐜퐨퐬훂.퐬퐢퐧풏 − 퐬퐢퐧휶.퐜퐨퐬풏 = 퐬퐢퐧 풏 + 휶 Suy ra ≤ 퐬퐢퐧풏 − ퟒ퐜퐨퐬풏 ≤ . 퐬퐢퐧풏 − ퟒ퐜퐨퐬풏 Nên ≤ ≤ . 풏 + 풏 + 퐬퐢퐧풏 − ퟒ퐜퐨퐬풏 Mà 퐥퐢퐦 = ⇒ 퐥퐢퐦 = Chọn D. 풏 + 풏 +
20. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 퐬퐢퐧풏 − ퟒ퐜퐨퐬풏 Tính giới hạn 퐥퐢퐦 풏 + A. B. 3 C. D. Bài giải Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào biểu thức (thay 풏 bằng 푿) Bấm phím CALC 푿? Chọn 푿 = 00000 퐬퐢퐧풏 − ퟒ퐜퐨퐬풏 Kết quả ⇒ 퐥퐢퐦 = Chọn D. 풏 +
21. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 Tính giới hạn 퐥퐢퐦 − 풏 + ퟒ A. − 8 B. − ∞ C. − D. + ∞ Bài giải ퟒ ퟒ Ta có 퐥퐢퐦 − 풏 + ퟒ = 퐥퐢퐦 풏 − + = 퐥퐢퐦 풏 − + = −∞ 풏 풏 ퟒ ퟒ Vì퐥퐢퐦 풏 − + = +∞ và 퐥퐢퐦 − + = − 풏 풏 Chọn B.
22. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn , ퟒퟒퟒ dưới dạng một phân số. ퟒ ퟒ ퟒ ퟒ A. , ퟒퟒퟒ = B. , ퟒퟒퟒ = C. , ퟒퟒퟒ = D. , ퟒퟒퟒ = Bài giải Cách 1: Giải tự luận Cách 2: Sử dụng MTCT ,ퟒퟒퟒ = , ퟒ + , ퟒ + , ퟒ + ⋯ Bấm dãy phím Dãy số ,ퟒ; , ퟒ; , ퟒ; là cấp số nhân lùi vô hạn với 풖 = ,ퟒ, công bội 풒 = , . ⇒ ,ퟒퟒퟒ = ,ퟒ + , ퟒ + , ퟒ + ⋯ Kết quả , ퟒ ퟒ = = − , Chọn C.
23. LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN TẬP CHƯƠNG IV DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập về giới hạn hàm số 2 Xem lại phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm