Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương V, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương V, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. LỚP GIẢI TÍCH Chương IV KIỂM TRA KIẾN THỨC CŨ 11 ÔN TẬP CHƯƠNG IV Câu hỏi: Tính các giới hạn sau 3 − 8 2 + 3 − 3 a) lim b) lim →2 − 2 →3 − 3 Bài giải 3 − 8 − 2)( 2 + 2 + 4 a) lim = lim = lim( 2 + 2 + 4ቁ = 22 + 2.2 + 4 = 12 →2 − 2 →2 − 2 →2 2 + 3 − 3 2 + 3 − 9 2( − 3) b) lim = lim = lim →3 − 3 →3 − 3)( 2 + 3 + 3 →3 − 3)( 2 + 3 + 3 2 2 1 = lim = = →3 2 + 3 + 3 6 + 3 + 3 3
2. LỚP LỚP IV 11 GIẢI TÍCH Chương ÔN11 TẬP CHƯƠNG IV GIẢI TÍCH Chương V: ĐẠO HÀM I ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM II QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM III ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC IV VI PHÂN V ĐẠO HÀM CẤP HAI
3. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM 1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm bài toán 1 Xét chuyển động của chất điểm trên trục 퐬′푶풔. Quãng đường của chuyển động là hàm số của thời gian 풔 = 풔(풕). Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 푡0. Bài giải + Trong khoảng thời gian 푡 − 푡0 chất điểm đi được quãng đường là: 푠(푡) − (푡0) + Chất điểm chuyển động không đều vận tốc trung bình là: S' st() O st()0 푠(푡) − 푠(푡0) S {t¹i t} 푣푡 = {vÞ trÝ ban {t¹i 푡0} 푡 − 푡0 ®Çu 푡 = 0} + Nếu 푡 càng gần 푡0 thì vtb càng gần 푣(푡0). Vậy vận tốc tức thời tại t0 là: 푠(푡) − 푠(푡0) 푣(푡0) = lim 푡→푡0 푡 − 푡0
4. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM 1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm Đạo hàm là một khái niệm Toán học có xuất xứ từ những bài toán thực tiễn, kĩ thuật khác nhau như Cơ học, Vật lí, Hình học, Hóa học, Sinh học sự xuất hiện đạo hàm như sau: Vận tốc tức thời Cường độ dòng điện tức thời Tốc độ phản ứng hóa học tức thời 푠(푡) − 푠(푡0) 푄(푡) − 푄(푡0) (푡) − (푡0) 푣(푡0) = lim (푡0) = lim 푣(푡0) = lim 푡→푡0 푡 − 푡0 푡→푡0 푡 − 푡0 푡→푡0 푡 − 푡0 Đạo hàm ( ) − ( ) lim 0 → 0 − 0
5. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM 2. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm Định nghĩa Cho hàm số y = ( ) xác định trên ( ; )và 0 ∈ ( ; ). Giới hạn hữu ( )− ( 0) hạn (nếu có) của tỉ số khi dần đến 0 gọi là đạo hàm của hàm số đã cho − 0 tại điểm 0, kí hiệu là ′( 0). Ta có: ( ) − ( 0) ′( 0) = lim → 0 − 0
6. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM 2. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm ( ) − ( 0) ′( 0) = lim → 0 − 0 3 − 8 2 + 3 − 3 1 1. lim = 12 2. lim = →2 − 2 →3 − 3 3 Hàm số Hàm số 1 = 2x + 3 có ′(3) = ( ) = 3 có ′(2) = 12Từ kết quả kiểm tra bài cũ, liên 3 hệ tới định nghĩa đạo hàm ta có thể kết luận điều gì???
7. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM ( ) − ( 0) 2. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm ′( 0) = lim → 0 − 0 Để tính đạo hàm của hàm số y = tại điểm = 0 ta có thể thực hiện các bước sau: Bước 1: Giả sử 훥 = − 0 là số gia của đối số tại 0, tính 훥 = 0 + 훥 − 0 . 훥 Bước 2: Tìm lim 훥 →0 훥
8. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM 1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 a) ( ) = 2 + 3 tại điểm = −1. b) ( ) = tại điểm = 1. 0 2 +1 0 c) ( ) = + 2 tại điểm 0 = 2. Bài giải a) Giả sử 훥 = − 0 là số gia của đối số tại 0 = −1 Ta có 훥 = −1 + 훥 − −1 = −1 + 훥 2 + 3 − 4 = −2훥 + (Δ )2 훥 lim = lim −2+훥 = −2. 훥 →0 훥 훥 →0 Vậy ′ −1 = −2.
9. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM 1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 a) ( ) = 2 + 3 tại điểm = −1. b) ( ) = tại điểm = 1. 0 2 +1 0 c) ( ) = + 2 tại điểm 0 = 2. Bài giải b) Giả sử 훥 = − 0 là số gia của đối số tại 0 = 1 1 1 −2훥 Ta có 훥 = 1 + 훥 − 1 = − = 2 1+훥 +1 3 3 3+2훥 훥 −2 2 lim = lim = − . 훥 →0 훥 훥 →0 3 3 + 2훥 9 2 Vậy ′ 1 = − . 9
10. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM 1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 a) ( ) = 2 + 3 tại điểm = −1. b) ( ) = tại điểm = 1. 0 2 +1 0 c) ( ) = + 2 tại điểm 0 = 2. Bài giải c) Giả sử 훥 = − 0 là số gia của đối số tại 0 = 2 훥 Ta có 훥 = 2 + 훥 − 2 = 4 + 훥 − 2 = 4+훥 +2 훥 1 1 lim = lim = . 훥 →0 훥 훥 →0 4 + 훥 + 2 4 1 Vậy ′ 2 = . 4
11. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM 1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động có phương trình 풔 = 풕 (풕 tính bằng giây; 풔 tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 풕 = (giây) là A. 2 Τ푠 B. 3 Τ푠 C. 4 Τ푠 D. 5 Τ푠 Bài giải Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 푡0 = 2 (giây) là 푣 2 = 푠′ 2 . Tính 풔′ . Ta có 훥s = 푠 2 + 훥푡 − 푠 2 = 2 + 훥푡 2 − 4 = 훥푡 2 + 훥푡 훥푠 lim = lim 2 + 훥푡 = 4. 훥t→0 훥t 훥t→0 Vậy s′(2) = 4.
12. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Cho hàm số 풇 풙 liên tục tại 풙 . Đạo hàm của 풇 풙 tại 풙 là 풇(풙 + 풉) − 풇(풙 ) 퐀. 풇 풙 . 퐁. 풍풊 (nếu tồn tại giới hạn) 풉→ 풉 풇(풙 + 풉) − 풇(풙 ) 풇(풙 + 풉) − 풇(풙 − 풉) 퐂. 퐃. 풍풊 (nếu tồn tại giới hạn) 풉 풉→ 풉 Bài giải Chọn B
13. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 풇 풙 − 풇 Xét hàm số 풚 = 풇 풙 . Biết 풍풊 = . 풙→ 풙 − Chọn khẳng định đúng? A. 풇′ = . B. 풇′ = . C. 풇′ = − . D. 풇′ − = − . Bài giải Chọn A
14. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Số gia của hàm số 풚 = 풙 + là A. 휟풙. B. 휟풙. C. 휟풙. D. ퟒ휟풙. Bài giải Ta có: 횫풚 = 풇 풙풐 + 휟풙 − 풇 풙 = 풙풐 + 휟풙 + − 풙 + = 휟풙. Chọn A.
15. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 Số gia của hàm số 풇 풙 = 풙 , ứng với 풙 = và ∆풙 = là A. 0 B. -7 C. 7 D. 19 Bài giải Ta có 횫풚 = 풇 풙풐 + 휟풙 − 풇 풙 = 풇 + − 풇 = − = Chọn D.
16. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 Số gia của hàm số 풇 풙 = 풙 ứng với số gia 휟풙 của đối số 풙 tại 풙 = − là A. 횫풙 − 횫풙 − . B. 횫풙 + 횫풙 + . C. 횫풙 + 횫풙. D. 횫풙 − 횫풙. Bài giải Ta có: 횫풚 = 풇 풙풐 + 횫풙 − 풇 풙 = 풇 횫풙 − − 풇 − = 횫풙 − − − = 횫풙 − 횫풙 + − = 횫풙 − 횫풙 Chọn D
17. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 횫풚 Cho hàm số 풇 풙 = 풙 − . Tính theo 풙 và ∆풙 횫풙 퐀. 퐁. ∆풙 퐂. ∆풙 퐃. − ∆풙 Bài giải Ta có 횫풚 = 풇 풙풐 + 횫풙 − 풇 풙 = 풙풐 + 횫풙 − − 풙풐 − = 횫풙 횫풚 횫풙 = = Chọn D 횫풙 횫풙
18. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 휟풚 Cho hàm số 풚 = tại 풙 = . Tính . 풙 + 휟풙 − − − − 퐀. . 퐂. 퐃. 휟풙 + ퟒ 휟풙 + 휟풙 + 휟풙 + Bài giải 횫풚 = 풇 풙풐 + 휟풙 − 풇 풙 = − = − 풙 + 휟풙 + 풙 + 휟풙 + − 휟풙 − − 휟풙 = = (휟풙 + ) (휟풙 + ) 휟풚 − 휟풙 − = 휟풚. = . = Chọn C 휟풙 휟풙 (휟풙 + ) 휟풙 (휟풙 + )
19. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 Đạo hàm của hàm số 풚 = 풙 + 풙 − tại 풙 = − là A. . B. . C. . D. − Bài giải Cách 1: Cho 풙 = − một số gia 휟풙. Khi đó 횫풚 = 풇 − + 휟풙 − 풇 − = − + 휟풙 + − + 휟풙 − + = 휟풙 − (휟풙) + (휟풙) = 휟풙 − 휟풙 + (휟풙) 휟풚 휟풙 − 휟풙 + (휟풙) Ta có 풇′ − = 풍풊 = 풍풊 휟풙→ 휟풙 휟풙→ 휟풙 = 풍풊 − 휟풙 + (휟풙) 휟풙→ = . Chọn A
20. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 Đạo hàm của hàm số 풚 = 풙 + 풙 − tại 풙 = − là A. . B. . C. . D. − Bài giải Cách 2: 풇 풙 − 풇 − 풇′ − = 풍풊 풙→− 풙 + 풙 + 풙 − + = 풍풊 풙→− 풙 + 풙 + 풙 + = 풍풊 풙→− 풙 + 풙 + 풙 − 풙 + = 풍풊 풙→− 풙 + = 풍풊 풙 − 풙 + = 풙→− Chọn A
21. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 9 Đạo hàm của hàm số 풚 = 풙 + tại 풙 = là 퐀. 퐁. 퐂. 퐃. Bài giải Cách 1: Cách 2: Cho 풙 = một số gia 횫풙. Khi đó 풇 풙 − 풇 풇′ = 풍풊 횫풚 = 풇 풙 + 횫풙 − 풇 풙 = 풇 + 횫풙 − 풇 풙→ 풙 − 풙 + − = ( + 횫풙) + − = 풍풊 횫풙 풙→ 풙 − = 풙 − + 횫풙 + = 풍풊 풙→ 풙 − 풙 + + 횫풚 횫풙 Ta có 풇′ = 풍풊 = 풍풊 횫풙→ 횫풙 횫풙→ = 풍풊 횫풙 + 횫풙 + 풙→ 풙 + + = 풍풊 = Chọn B = 횫풙→ + 횫풙 +
22. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 Một chất điểm chuyển động có phương trình 풔 = 풕 (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 풕 = là A. 2 m/s B. 5 m/s C. 6 m/s D. 3 m/s Bài giải ′ Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 풕 = là 풗 = 풔 . Cách 1: Cho 풕 = một số gia 횫풕. Khi đó: Cách 2: 풔 풕 − 풔 횫풔 = 풔 풕 + 횫풕 − 풔 풕 = 풔 + 횫풕 − 풔 풔′ = 풍풊 풕→ 풕 − = + 횫풕 − = 횫풕 + 횫풕 풕 − = 풍풊 횫풔 풕→ 풕 − Ta có 풔′ = 풍풊 풕 − 풕 + 횫풕→ 횫풕 = 풍풊 풕→ 풕 − 횫풕 + 횫퐭 = 풍풊 풕 + = = 풍풊 = 풍풊 + 횫풕 = Chọn C 풕→ 횫풕→ 횫풕 횫풕→
23. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM Ứng dụng hàm trong vật lý. • Trong bài toán điện, sức điện động cảm ứng là đạo hàm của từ thông biến thiên.Trong tụ điện thì dòng điện là đạo hàm của điện áp. • Trong cuộn cảm thì điện áp là đạo hàm của dòng điện. • Trong dao động điện từ thì cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích biến thiên theo thời gian. Ứng dụng trong hoá học. • Vận tốc phản ứng tức thời tại mộtCuộc thờ isống điểm b cầnất kì có Ứng dụng trong sinh học • Sự tăng trưởng dân số theo thời gianĐạo hàm ? Ứng dụng của đạo hàm vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có. Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, đến các bài toán trong các quá trình khoa học xã hội VD: • Trong ngành cơ học lưu chất thì lưu lượng là đạo hàm của khối lượng lưu chất. • Đạo hàm được ứng dụng trong các bài toán cực trị trong kinh tế hay là các bài toán về tối ưu hóa trong kinh tế • Đạo hàm là một phép tính cơ bản tiền đề cho việc xây dựng toán học cao cấp tiền đề cho những môn học như giải tích hàm,giải tích phức , phương trình vi phân đạo hàm riêng .
24. LỚP IV 11 GIẢIGIẢI TÍCH CHƯƠNGChương V BÀI 1. ĐỊNHÔN NGHĨA TẬP CHƯƠNGVÀ Ý NGHĨA IV ĐẠO HÀM Ghi nhớ ( ) − ( 0) 1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm: ′( 0) = lim → 0 − 0 2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Bước 1: Giả sử 훥 = − 0 là số gia của đối số tại 0, tính 훥 = 0 + 훥 − 0 . 훥 Bước 2: Tìm lim 훥 →0 훥 Bài tập về nhà