Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương V, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương V, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Tiết 2)

1. LỚP LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 11 Chương V 11 ĐẠI SỐ Chương V: ĐẠO HÀM Bài 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM (tt-Tiết 66) 5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 6 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm II ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
2. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa 4 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
3. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm a. Tiếp tuyến của đường cong (C) Cho hàm số 풚 = 풇(풙) có đồ thị 푪 , y f(x) M T 푴 (풙 ; 풚 ) ∈ (푪) M0 푴 풙; 풇(풙) là một điểm di chuyển trên f(x0) (C); khác 푴 O X0 x x Đường thẳng 푴 푴 퐥à một cát tuyến của (푪) Khi 풙 → 풙 thì điểm 푴 di chuyển trên (푪) tới điểm 푴 Giả sử cát tuyến 푴 푴 có vị trí giới hạn là 푴 푻 thì 푴 푻 được gọi là tiếp tuyến của (C) tại 푴 . 푴 được gọi là tiếp điểm.
4. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM HĐ 3. 풙 a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = b) Tính f’(1) c) Tìm đường thẳng đi qua điểm 퐌 ; và có hệ số góc f’(1) ? Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho
5. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Lời giải y 2.5 f(x)=x^2/2 2 f(x)=x-1/2 a) Vẽ đồ thị của hàm số = 2 2 1.5 b) ′ 1 = 1. 1 0.5 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm -0.5 -1 1 -1.5 M 1; và có hệ số góc f’(1) . Đường 2 -2 -2.5 thẳng này tiếp xúc với đồ thị. -3
6. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lý 2 Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm 풙 là hệ số góc của tiếp tuyến 푴 푻 của (C) tại điểm 푴 (풙 ; f(풙 )).
7. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = – 풙 + 풙 − . Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 풙 = 1. Lời giải Theo định lí 2, tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 풙 = 1; tức là tính gì ?
8. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = – 풙 + 풙 − . Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 풙 = 1. Lời giải Giả sử ∆풙 là số gia của đối số tại 풙 = 1. Ta có: ∆풚 = f(1 + ∆풙) – f(1) = −( + ∆풙) + 3(1 + ∆풙) − 2 – 0 = −( 1 + 2∆풙 + ∆풙 ) + 3 + 3∆풙 − = −∆풙 + ∆풙 = − ∆풙 (∆풙 −1) ∆풚 = − (∆풙 − 1) ∆풙 ∆풚 풍풊 = 풍풊 [− (∆풙 − 1)] = 1 ∆풙→ ∆풙 ∆풙→ => f’(1) = 1 Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 1
9. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm c. Phương trình tiếp tuyến Định lý 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (푪) của hàm số 풚 = 풇(풙) tại điểm 푴 (풙 ; 풚 ) là: ′ 풚 - 풚 = 풇 (풙 )( 풙 − 풙 ), trong đó 풚 = 풇(풙 ) Muốn viết phương trình tiếp tuyến ta cần biết những yếu tố nào ? ′ Ta cần tìm 3 yếu tố: 풙 ; 풚 ; 풇 (풙 )
10. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm Ví dụ 2: Cho parabol 풚 = 풇 풙 = −풙 + 3x – 2. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ 풙 = 1? Lời giải Hệ số góc của tiếp tuyến là 풇′ = (Ví dụ 1) Ngoài ra ta có: 풚( ) = Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ 풙 = 1 là: 풚 − = . 풙 − hay 풚 = 풙 −
11. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 6 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm a. Vận tốc tức thời Nhắc lại định nghĩa vận tốc tức thời của 풔 풕 − 풔(풕 ) chuyển động tại thời 풗 풕 = 풍풊 = 퐬′ 퐭 풕→풕 풕 − 풕 điểm 풕 ? Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm thì 풔 풕 −풔(풕 ) 풍풊 = ? 풕→풕 풕−풕
12. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 6 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm a. Vận tốc tức thời Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 풕 là đạo hàm của hàm số 풔 = 풔(풕) tại 풕 : 풗(풕 ) = 풔′(풕 ) b. Cường độ tức thời Nếu điện lượng 푸 truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: 푸 = 푸(풕) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 풕 là đạo hàm của hàm số 푸 = 푸(풕) tại ′ 풕 : 푰(풕 ) = 푸 (풕 ).
13. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 6 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm Ví dụ 3: 풕 Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = ( t được tính bằng giây, s tính bằng mét ). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 풕 = 1 ( giây) là ? A. /풔 C. /풔 B. /풔 D. ퟒ /풔
14. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM II ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: 풇 풙 = 풙 tại điểm 풙 bất kì. Lời giải 풇 풙 − 풇(풙 ) 풙 − 풙 풙 + 풙 . (풙 − 풙 ) 풇′ 풙 = 풍풊 = 풍풊 = 풍풊 풙→풙 풙 − 풙 풙→풙 풙 − 풙 풙→풙 풙 − 풙 = 풍풊 풙 + 풙 = 풙 풙→풙 Vậy 풇’(풙) = 풙
15. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM II ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số 풚 = 풇(풙) được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( ; ) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. Ví dụ 4: Hàm số 풚 = 풙 có đạo hàm 풚’ = 풙 trên (−∞ ; +∞).
16. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 2 Cho hàm số ( ) xác định trên 푅 bởi = và 0 ∈ ℝ. Chọn câu đúng. ′ ′ 2 A. 0 = 0. B. 0 = 0 . ′ ′ C. 0 = 2 0. D. 0 không tồn tại. Bài giải Giả sử 훥 là số gia của đối số tại 0. 2 2 Ta có : 훥 = 0 + 훥 − 0 = 0 + 훥 − 0 = 훥 2 0 + 훥 . 훥 푙푖 = 푙푖 2 0 + 훥 = 2 0. 훥 →0 훥 훥 →0 ′ Vậy 0 = 2 0. Chọn C
17. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 1 Cho hàm số xác định trên 0; +∞ bởi = . Đạo hàm của tại = 2 là 0 1 1 A. . B. − . 2 2 −1 C. 1 D. 2 2 Bài giải Giả sử 훥 là số gia của đối số tại 0. 1 1 훥 Ta có : 훥 = 0 + 훥 − 0 = − = − . 0+훥 0 0 0+훥 훥 1 1 푙푖 = 푙푖 − = − 2. 훥 →0 훥 훥 →0 0 0+훥 0 ′ 1 ′ 1 Chọn B Vậy 0 = − 2 ⇒ 2 = − . 0 2
18. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Cho hàm số = + 1. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0 = 1. 2 2 A. . B. . 4 2 2 C. 2 2 D. . 3 Bài giải − 1 +1− 2 Cách 1: Xét 푙푖 = 푙푖 →1 −1 →1 −1 −1 1 1 2 = 푙푖 = 푙푖 = = . →1 −1 +1+ 2 →1 +1+ 2 2 2 4 Chọn A Cách 2: 훥 = 훥 + 1 − 1 = 훥 + 2 − 2. 훥 훥 +2− 2 훥 1 2 푙푖 = 푙푖 = 푙푖 = 푙푖 = . 훥 →0 훥 훥 →0 훥 훥 →0 훥 2+훥 + 2 훥 →0 2+훥 + 2 4
19. . LỚP BÀI 1 . GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 Câu 4 Khi tính đạo hàm của hàm số = + 5 − 3 tại điểm 0 = 2, một học sinh đã tính theo các bước sau: − 2 2+5 −3−11 −2 +7 Bước 1: − 2 = − 11. Bước 2: = = = + 7. −2 −2 −2 − 2 Bước 3: 푙푖 = 푙푖 + 7 = 9. Vậy ′ 2 = 9. Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào? →2 −2 →2 A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Tính toán đúng. Bài giải Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng. Chọn D
20. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Củng cố 1) Nếu hàm số 풚 = 풇(풙) có đạo hàm tại 풙 thì nó liên tục tại điểm đó. 2) Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị: 풌 = 풇′(풙 ) 3) Phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị hàm số: ′ 풚 - 풚 = 풇 (풙 )( x − 풙 )
21. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 1 11 Chương V ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Dặn dò + SGK: các bài 5, 6, 7 (trang 156, 157), + BT bổ sung: Cho hàm số : = − 3 + 4 ( ). 1) Tính ’( 0) bằng định nghĩa. 2) Viết PTTT của ( ) tại điểm có tung độ 0 = 0. 3) Viết PTTT của ( ) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn nhất.