Đề cương ôn tập môn Toán 11 - Tuần 14-16 - Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán 11 - Tuần 14-16 - Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau

1. BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian Hai đường thẳng a và b cắt nhau khi chúng có một điểm chung. a b M Lưu ý: Hai đường thẳng cắt nhau sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng Hai đường thẳng a và b trùng nhau khi chúng có vô số điểm chung ab Hai đường thẳng a và b song song với nhau khi chúng cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung. ab,  ab// ab Ø Hai đường thẳng a và b chéo nhau khi chúng không cùng một mặt phẳng 2. Tính chất a) Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Cho M a  a đi qua M và aa' // 1
2. b) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo   a ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến abc// //   c a b  c M ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song   b với nhau. d1  d// d // d c) Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt 12 d d d// d 2 1 2 chứa hai đường thẳng song song thì giao d d// d d   21 tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. ab// ac// bc// d) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng sử dụng quan hệ song snog Phương pháp giải 2
3. Tìm giao tuyến của mặt phẳng và  Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) - Xác định giao điểm chung của hai mặt phẳng. Hướng dẫn giải   S SAB  SCD S - Tìm hai đường thẳng song song với nhau thuộc hai Ta có AB SAB , CD SCD đường thẳng đó AB// CD ab  , Suy ra SAB  SCD Sx với Sx// AB // CD ab// Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua S và song song với a (hoặc b). Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD), đáy lớn AB. Cho M là điểm bất kì thuộc cạnh SC. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: a) SAB  SCD b) SCD  MAB Hướng dẫn giải 3
4. a) Ta có SAB  SCD S , mà AB // CD Suy ra SAB  SCD Sx , trong đó Sx// AB // CD b) Do M SC nên SCD  MAB M , mặt khác AB // CD SCD  MAB My , trong đó My // AB // CD Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD) b) Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng d qua M và song song SD. Tìm giao điểm của d và mặt phẳng (SAB) Hướng dẫn giải Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC, G là trọng tâm tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJG) là A. SC B. đường thẳng qua S và song song với AB C. đường thẳng qua G và song song với CD D. đường thẳng qua G và cắt BC Câu 2: Cho tứ diện ABCD, gọi I;,J và K lần lượt là trung điểm của AB, BC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (IJK) là A. KD B. KI C. đường thẳng đi qua K và song song với AB D. không có Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD hình thang (AB // CD). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCO) là A. đường thẳng qua S và song song với AB và CD B. đường thẳng qua S và song song với AD và BC C. đường thẳng qua S và giao điểm của AD và CD 4
5. D. đường thẳng qua S và giao điểm của AC và BD Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải Một số cách chứng minh Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm a) Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và của AB, BC và P là điểm nằm trên cạnh CD. Gọi Q dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng là giao điểm của DA với mặt phẳng (MNP). Chứng song song trong hình học phẳng. minh PQ // MN và PQ // AC b) Chứng minh chúng cùng song song với đường Hướng dẫn giải thẳng thứ ba. c) Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng ấy. d) Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng. Ta có CD MNP P và MN // AC Suy ra MNP  ACD Px Trong đó Px // MN // AC Mặt khác DA MNP Q nên Q Px Vậy PQ // MN // AC Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD AB CD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. a) Chứng minh MN // CD b) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD Hướng dẫn giải 5
6. a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB suy ra MN // AB. Mà AB // CD nên MN // CD b) Gọi O AC  BD, G SO  DN và P  AG SC suy ra P  SC ADN . Ta có AB // CD nên SAB  SCD Sx sao cho Sx // AB // CD Theo đầu bài I  AN DP nên I SAB và I SCD I Sx Từ đó ta có SI // AB // CD Chú ý: Ta thấy I  AN DP, nên I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) . Để chứng minh SI // AB // CD ta sử dụng phương pháp chứng minh giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song và giao tuyến đó sẽ song song với hai đường thẳng đó. S  SAB SCD a) Ta có AB SAB ; CD SCD AB// CD SAB  SCD Sx, trong đó Sx // AB // CD Trong (ABCD) gọi O  AC BD, suy ra O  SAC SBD 1 Lại có S  SAC SBD 2 Từ (1) và (2), suy ra SO  SAC SBD b) Vì d qua M và song song SD nên d SDM Lại có S  SDM SAB Trong (ABCD) có I  AB DM suy ra I  SDM SAB 6
7. Khi đó SDM  SAB SI Trong (SDM) có N  SI d suy ra N  d SAB Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA SB a,3 SC SD a . Gọi E, G lần lượt là trugn điểm của SA và SB. M là điểm tùy ý trên cạnh BC (không trùng với B, C). a) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC) b) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (MEF) và (ABCD) Hướng dẫn giải a) Ta có S  SAD SCD AB// CD , AB SAB , CD SCD SAB  SCD Sx, trong đó Sx // AB // CD Tương tự S  SAD SBC AD// BC , AD SAD , BC SBC SAD  SBC Sy , trong đó Sy // AD // BC. b) Do E, F lần lượt là trug điểm của SA, SB nên EF là đường trung bình của ∆SAB 1 Do đó EF // AB và EF AB 2 M  MEF ABCD Ta có EF// AB EF MEF , AB ABCD 7
8. MEF  ABCD Mt trong đó Mt // AB // CD hay MEF  ABCD MN ( với AD Mt N và MN // AB // CD). Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây A. AD B. BD C. AC D. SC Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau Câu 3: Cho tứ diện ABCD, gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. GE và CD chéo nhau B. GE // CD C. GE cắt AD D. GE cắt CD Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là CD. Gọi M là trung điểm của SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. MN và SD cắt nhau B. MN // CD C. MN và SC cắt nhau D. MN và CD chéo nhau Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SIJ) là một đường thẳng song song với A. đường thẳng AD B. đường thẳng AB C. đường thẳng AC D. đường thẳng BD 8