Giáo án Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài: Ôn tập chương IV (Tiết 1)

Nội dung text: Giáo án Toán Lớp 11 - Chương IV, Bài: Ôn tập chương IV (Tiết 1)

1. Ngày soạn: Ngày dạy: GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN ÔN TẬP CHƯƠNG (tiết 1) I/ TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1/ Giới hạn của dãy số Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: limun 0 hay limun 0 hay un 0 khi n . n Một vài giới hạn đặc biệt a) limun 0 lim un 0 ; hay lim0 0 ; 1 1 * 1 1 b) lim 0 ; lim k 0, k 0,k ¥ ; lim 0 ; lim 0 ; n n n 3 n c) lim qn 0 nếu q 1; lim c c d) Cho hai dãy số un và vn Nếu un vn với mọi n và limvn 0 thì limun 0 . e) lim nk với k nguyên dương và limqn q 1 Định lí về giới hạn hữu hạn a) Nếu limun a và limvn b và c là hằng số. Khi đó ta có : • lim un vn a b • lim un vn a b un a • lim un .vn a.b • lim , b 0 vn b 3 3 • lim c.un c.a . • lim un a và lim un a • Nếu un 0 với mọi n thì a 0 và lim un a . b) Cho ba dãy số un , vn và wn . Nếu un vn wn , n và limun lim wn a, a ¡ thì limvn a (gọi định lí kẹp). c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn: • Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn. • Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. 2/ Giới hạn của hàm số Giới hạn đặc biệt lim xk (với k nguyên dương) x lim xk (với k lẻ) x lim xk (với k chẵn) x
2. Định lí về giới hạn hữu hạn Nếu lim f x L; lim g x M , khi đó: x x0 x x0 • lim f x g x L M x x0 • lim f x .g x L.M x x0 f x L • lim (với M 0 ) x x0 g x M • Nếu f x 0,x thì L 0 và lim f x L x x0 Quy tắc tính giới hạn của tích lim f x lim g x lim f x .g x x x0 x x0 x x0 L 0 L 0 Quy tắc tính giới hạn của thương Dấu f x lim f x lim g x lim x x x x 0 0 của g x x x0 g x L ± ∞ Tùy ý 0 L 0 0 L 0 0
3. 3/ Hàm số liên tục Định lí 1 Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, các hàm số lượng giác liên tục trên các khoảng xác định của chúng. Định lí 2 y f x , y g x liên tục tại x0 , khi đó • y f x g x và y f x .g x liên tục tại x0 f x • y liên tục tại x nếu g x 0 g x 0 0 Định lí 3 Hàm số y f x liên tục trên a;b và f a f b 0 phương trình f x 0 Có ít nhất 1 nghiệm x0 a;b Hàm số liên tục trên khoảng/đoạn Hàm số f x liên tục trên khoảng K f x liên tục tại mọi điểm thuộc K Hàm số f x liên tục trên đoạn a;b f x liên tục tại trên khoảng a;b và lim f a ; lim f x f b x a x b Hàm số liên tục tại 1 điểm Cho hàm số f x xác định trên khoảng K . f x liên tục tại điểm x0 K lim f x f x0 x x0 II/ CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ f n 1. Giới hạn dãy số hữu tỉ u n g n 2. Giới hạn dãy số chứa mũ – lũy thừa n 3. Giới hạn của dãy số có chứa căn 4. dạng vô định 5. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số) Bài 1 (Bài tập 3 SGK, trang 141) 3n 1 n 2 A lim H lim n2 2n n N lim n 2 3n 7 3n 5.4n O lim 1 4n
4. Bài giải 1 1 n 3 3 3n 1 n A lim lim lim n 3 n 2 2 2 n 1 1 n n H lim n2 2n n n2 2n n n2 2n n lim n2 2n n 2n 2 lim lim 1 n2 2n n 2 1 1 n 1 2 1 2 n n 2 n n N lim lim lim n n 0 3n 7 7 7 n 3 3 n n n 3n 3 n n 5 5 3 5.4 n 4 O lim lim 4 lim 5 n 1 n 1 4 1 1 n 1 4 4 Mã hóa 1530 được dịch thành HOAN. Tên học sinh là Hoan. Bài 2 Tính các giới hạn sau: n 1 n2 2 a)lim b)lim 2n2 3n n3 2n 4 Bài giải 1 2 2 1 1 2 n 1 n 2 n n a)lim lim 1 3 2 4 n 2n 4 1 n2 n3
5. 2n2 n 2n2 3n 2n2 n 2n2 3n b)lim 2n2 n 2n2 3n lim 2n2 n 2n2 3n 4n 4 4 lim lim 2 2 2 1 3 2 2 2n n 2n 3n 2 2 n n Bài 3 Tính các giới hạn sau: a)lim 4n3 2n2 1 b)lim 3n 2n2 n 4 c)lim n2 n 4n 1 Bài giải 3 2 3 2 1 a)lim 4n 2n 1 lim n 4 3 n n 3 2 1 Vì lim n và lim 4 3 n n 1 4 b)lim 3n 2n2 n 4 lim n 3 2 2 n n 1 4 Vì lim n và lim 3 2 3 2 0 2 n n 4 1 c)lim n2 n 4n 1 lim n2 1 2 n n 4 1 4 1 Vì lim n2 1 và lim 1 1 2 2 n n n n Bài 4 1 2 3 n Tính lim n2 1 Bài giải n n 1 n2 n Ta có 1 2 3 n 2 2 n2 n 1 2 1 1 2 3 n n n 1 Do đó lim lim 2 lim lim n 2 2 2 2 n 1 n 1 2n 2 2 2 n Bài 5 1 1 1 Tính tổng S 1 3 9 27
6. Bài giải 1 1 1 1 Dãy 1, , , , là cấp số nhân với u 1,q 3 9 27 1 3 1 1 1 u 1 3 Do đó S 1 1 3 9 27 1 q 1 4 1 3 Bài 6 u1 2 Cho dãy số un : Tính limun un 1 2un 1,n 1 Bài giải Cách 1: Giải tự luận * Tìm số hạng tổng quát của un Đặt un vn 1 * un 1 vn 1 1 Khi đó un 1 2un 1 vn 1 1 2vn 2 1 vn 1 2vn n 1 n 1 n 1 Suy ra vn là cấp số nhận vn v1.2 1.2 2 n 1 Thay vào * , ta được un 2 1 n 1 n 1 1 * Khi đó limun lim 2 1 lim 2 1 n 1 2 n 1 1 Do lim 2 và lim 1 n 1 1 2 Cách 2: Sử dụng MTCT Bấm dãy phím Màn hình sẽ hiển thị Sau đó bấm phím liên tục. Nhận thấy kết quả tăng lên rất nhanh limun BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Cho hai dãy số un và vn . Biết limun a và limvn b . Chọn khẳng định sai. u a A. lim n vn b B. lim un vn a b C. lim un 1 a 1 D. lim un vn a b
7. Bài giải Chọn A. Theo định lí về giới hạn hữu hạn, ta có đáp án B và D đều Đúng C.lim un 1 limun lim1 a 1 Đáp án C Đúng u a A.lim n chỉ đúng nếu b 0. Đáp án A sai vn b Câu 2 Cho hai dãy số un và vn . Biết limun 3và limvn . Chọn khẳng định đúng. u A. lim n vn un B. lim 0 vn C. limun .vn un 1 D. lim vn Bài giải Theo quy tắc tính giới hạn vô cực của dãy số, ta thấy đáp án C đúng. Chọn C. u u u 1 lim n 0,lim n ,lim n 0 vn vn vn Câu 3 3n 4n 1 Tính giới hạn lim 3n 1 4n A. 4 B. 0 C. D. 1 Bài giải Cách 1: Giải tự luận 3n 4n 1 3n 4.4n lim lim 3n 1 4n 9.3n 4n n n 3 4 n 4 4 lim n n 3 4 9 n 1 4 n 3 4 4 lim n 4 3 9 1 4
8. Chọn A. Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào biểu thức Bấm phím CALC X ? chọn X 50 (Vì x là số mũ, nên chọn 100 ) Kết quả Câu 4 u1 2 Cho dãy số un : . Tính limun un 1 2 un ,n 1 A. limun 1 B. limun 2 C. limun 2 D. limun Bài giải Sử dụng MTCT Bấm dãy phím Màn hình sẽ hiển thị Sau đó bấm phím liên tục. Nhận thấy kết quả tiến dần đến 2 limun 2 Chọn B. Câu 5 3sin n 4cos n Tính giới hạn lim 2n2 1 A. 5 B. 3 C. 2 D.0 Bài giải Cách 1: Giải tự luận 3 4 Ta có 3sin n 4cos n 5 sin n cosn 5 cos .sin n sin .cos n 5sin n 5 5 Suy ra 0 3sin n 4cos n 5 3sin n 4cos n 5 Nên 0 . 2n2 1 2n2 1 5 3sin n 4cos n Mà lim 0 lim 0 Chọn D. 2n2 1 2n2 1 Cách 2: Sử dụng MTCT
9. Nhập vào biểu thức (thay n bằng X ) Bấm phím CALC X ? chọn X 100000 3sin n 4cos n Kết quả lim 0. Chọn D 2n2 1 Câu 6 3 Tính giới hạn lim 2n2 4 A. 8 B. C. 2 D. Bài giải 3 3 3 4 4 Ta có 2 2 6 lim 2n 4 lim n 2 2 lim n 2 2 n n 3 3 6 4 4 Vì lim n 2 2 và lim 2 2 8 n n Chọn B. Câu 7 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 dưới dạng một phân số. 4 A. 0,444 99 4 B. 0,444 7 4 C. 0,444 9 4 D. 0,444 11 Bài giải Cách 1: Giải tự luận 0,444 0,4 0,04 0,004 Dãy số 0,4;0,04;0,004; là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 0,4, công bội q 0,1 0,444 0,4 0,04 0,004
10. 0,4 4 1 0,1 9 Chọn C. Cách 2: Sử dụng MTCT Bấm dãy phím Kết quả DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập về giới hạn hàm số 2 Xem lại phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm