Giáo án Toán Lớp 11 - Tiết 52: Giới hạn của hàm số

Nội dung text: Giáo án Toán Lớp 11 - Tiết 52: Giới hạn của hàm số

1. Tiết 52- GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MÔN TOÁN: GIẢI TÍCH LỚP 11 Chương IV: GIỚI HẠN A. LÝ THUYẾT I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 1. Định nghĩa Cho khoảng chứa điểm x0 và hàm số y f x xác định trên K \ x0 . Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L khi x tiến đến x0 nếu với mọi dãy số xn bất kì, xn K \ x0 và x0 x0 , ta có f xn L . Kí hiệu: lim f x L hay f x L khi x x0 . x x0 Nhận xét: lim x x0 ; lim c c (c: hằng số). x x0 x x0 2. Định lí a) Giả sử lim f (x) L và lim g(x) M . Khi đó: x x0 x x0 lim  f (x) g(x) L M ; x x0 lim  f (x) g(x) L M ; x x0 lim  f (x).g(x) L.M ; x x0 f (x) L lim (nếu M 0). x x0 g(x) M b) Nếu f(x) 0 và lim f (x) L thì L 0 và lim f (x) L x x0 x x0 c) Nếu lim f (x) L thì lim f (x) L . x x0 x x0 Ví dụ 1. Tính A lim x2 2x 3 . x 1 Lời giải lim x2 2x 3 1 2 2 1 3 6. x 1 x3 8 Ví dụ 2. Tính lim . x 2 x2 4 Lời giải x3 8 (x 2)(x2 2x 4) x2 2x 4 12 lim lim lim 3 x 2 x2 4 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 4 3. Giới hạn một bên 3.1. Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trên x0;b . Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số f x khi x x0 nếu với mọi dãy số xn bất kì, x0 xn b và xn x0 , ta có f xn L . Kí hiệu: lim f (x) L . x x0 Cho hàm số f x xác định trên a; x0 . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số f x khi x x0 nếu với mọi dãy số xn bất kì, a xn x0 và xn x0 , ta có f xn L . Trang 1/5 - WordToan
2. Kí hiệu: lim f (x) L . x x0 3.2. Định lí lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L . x x0 x x0 x x0 x 3, khi x 1 Ví dụ 1. Tính lim f x với f x 2 . x 1 1 7x 2, khi x 1 Cách 1 : Tự luận lim f x lim (x 3) 2 x 1 x 1 Ta có lim f x lim 1 7x2 2 2 x 1 x 1 Vậy lim f x lim f x 2 lim f x 2 x 1 x 1 x 1 Cách 2: Sử dụng máy tính Bấm máy tính như sau x 3 + CACL + x 1 10 10 ta được đáp án bằng 2 . Bấm máy tính như sau 1 7x2 2 + CACL + x 1 10 10 ta được đáp án bằng 2 . Vậy lim f x lim f x 2 lim f x 2 x 1 x 1 x 1 B. BÀI TẬP CỦNG CỐ Hướng dẫn giải Dạng 1: Câu hỏi lí thuyết Ta có lim f x L nếu L 0 . Câu 1. x x0 Giả sử lim f x L . Trong các khẳng Chọn đáp án C. x x0 định sau, khẳng định nào sai: A. lim f x L x x0 B. lim 3 f x 3 L x x0 C. lim f x L x x0 D. lim f x L x x0 Dạng 2: f x xác định tại x Cách 1: Tự luận 0 2 tan x 1 2tan x 1 B lim Câu 2. Tính B lim : sin x 1 x x sin x 1 6 6 . 2 tan 1 4 3 6 6 4 3 6 A. . B. . C. . D. 1. B 9 sin 1 9 6 Cách 2: Sử dụng máy tính Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Radian 2tan x 1 + CACL + x 10 9 sin x 1 6 và so đáp án. Chọn đáp án C. 3x m Cách 1: Tự luận Câu 3. Cho C lim . Để C = 5, giá 3x m 6 m x 2 x 2 C lim , trị của m là bao nhiêu? x 2 x 2 4 Trang 2/5 – Diễn đàn giáo viên Toán
3. 10 6 m A. 3. B. 14. C. 3. D. . C 5 5 m 14 3 4 Cách 2: Sử dụng máy tính Bấm máy tính như sau 3x M + CACL + x 2 10 9 x 2 và m = ( đáp án: A, B, C, D ) đáp án cho kết quả = 5 ta chọn. Chọn đáp án B. 0 Cách 1: Tự luận Dạng 3: Phân thức hữu tỷ 0 x2 2x 1 2 A lim x 2x 1 x 1 2x3 2 Câu 4. Tính A lim : x 1 2x3 2 x 1 2 1 lim A. . B. 0 . C. . D. . x 1 2 x 1 x2 x 1 2 x 1 lim 0 x 1 2 x2 x 1 Cách 2: Sử dụng máy tính Bấm máy tính như sau: x2 2x 1 + CACL + x 1 10 9 và so 2x3 2 đáp án. Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: x2 2x 1 lim 3 2x 2 9 x 1 10 và so đáp án. Chọn đáp án B. 0 Cách 1: Tự luận Dạng 4: chứa căn 0 4x 1 3 A lim 4x 1 3 x 2 x2 4 Câu 5. Tính A lim . 2 ( 4x 1 3)( 4x 1 3) x 2 x 4 lim 1 x 2 2 A. 0. B. . C. 2. D. -2. (x 4)( 4x 1 3) 6 4x 1 9 lim x 2 (x2 4)( 4x 1 3) 4x 8 lim x 2 (x2 4)( 4x 1 3) 4 1 lim x 2 (x 2)( 4x 1 3) 6 Cách 2: Sử sụng máy tính 4x 1 3 Bấm máy tính như sau + x2 4 CACL + x 2 10 10 và so đáp án. Chọn đáp án B. Dạng 5: Giới hạn một bên Cách 1 : Tự luận x 3 x 3 x 3 1 Câu 6. Tính A lim A lim lim lim x 3 5x 15 x 3 5x 15 x 3 5x 15 x 3 5 Cách 2: Sử dụng máy tính Trang 3/5 - WordToan
4. 1 1 x 3 A. B. C. 0 D. Bấm máy tính như sau + CACL + 5 5 5x 15 x 3 10 10 và so đáp án. Chọn đáp án B. BÀI TẬP VỀ NHÀ - Bài 3 (sgk trang 132). Tính các giới hạn sau: x2 1 4 x2 x 3 3 a) lim b) lim c) lim x 3 x 1 x 2 x 2 x 6 x 6 Lời giải x2 1 a) lim lim x 1 4 . x 3 x 1 x 3 4 x2 b) lim lim 2 x 4 . x 2 x 2 x 2 2 x 3 3 x 3 32 1 1 c) lim lim lim x 6 x 6 x 6 x 6 x 3 3 x 6 x 3 3 6 - Bài tập bổ sung: Câu 1. Tính lim x2 x 7 . x 1 A. 5.B. 9. C. 0.D. 7. Lời giải Ta có lim x2 x 7 lim 1 2 1 7 9. x 1 x 1 x2 5x 4 Câu 2. Tính I lim . x 1 x2 1 1 3 1 1 A. B. C. D. 2 2 4 3 Lời giải x 1 x 4 x 4 3 Ta có I lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 3x 2 2 khi x 2 Câu 3. Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số f x x 2 để tồn tại 1 ax khi x 2 4 lim f x . x 2 A. a 0 . B. a 3. C. a 2 . D. a 1. Lời giải 3 3x 2 2 3 1 Ta có lim f x lim lim . x 2 x 2 x 2 x 2 3 3x 2 2 23 3x 2 4 4 1 1 lim f x lim ax 2a . x 2 x 2 4 4 Trang 4/5 – Diễn đàn giáo viên Toán
5. 1 1 Hàm số có giới hạn tại x 2 lim f x lim f x 2a a 0 . x 2 x 2 4 4 Trang 5/5 - WordToan