Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Phan Ngọc Hiển (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Phan Ngọc Hiển (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NĂM CĂN TRƯỜNG THCS PHAN NGỌC HIỂN KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 6, 7, 8 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TOÁN – KHỐI 7 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1(2.0 điểm): Tính giá trị biểu thức: 2 2 5 1 23 A . 4 2 5 2 2 4 B 3 32 32 32018 32019 Câu 2 (4.0 điểm): 1 a/ Tìm x, biết .81x 3x 27 b/ Cho các số 0 a1 a 2 a3 a14 a15 . a a a a a Chứng tỏ: 1 2 3 14 15 5 a5 a10 a15 Câu 3 (3.0 điểm): Cho hàm số y f (x) 4x3 x . a) Tính f (1);f ( 1). b) Chứng tỏ f ( a) f (a) . 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z Câu 4 (3.0 điểm): Cho . Chứng minh rằng: . a 2b 3c a 2b 3c Câu 5 (7.0 điểm): Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900 . Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. a) Chứng minh rằng: AMC = ABN; b) Chứng minh: BN  CM; c) Kẻ AH BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 (1.0 điểm): Tìm các số nguyên x, y để xy 2x y 5 . Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm 2 1 2 5 1 23 A . 4 2 5 2 2 4 4 5 5 A . 2 25 2 2 A 0,16 6,25 2 1.0 A 8,41 B 3 32 32 32018 32019 1.0 3B 32 32 32018 32020 2B 32020 3 32020 3 B 2 2a 1 .81x 3x 27 81x 27.3x 34x 3x 3 1,0 4x x 3 x 1 1,0 2b Vì: a1 a 2 a3 a 4 a5 nên a1 a 2 a3 a 4 a5 5a5 Tương tự: a a a a a 5a ; a a a a a 5a 6 7 8 9 10 10 11 12 13 14 15 15 1,0 a a a a a 5a 5a 5a Nên: 1 2 3 14 15 5 10 15 5 a5 a10 a15 a5 a10 a15 1,0 3a y f (x) 4x3 x . f (1) 5;f ( 1) 5. 3b f ( a) 4.( a)3 ( a) 4a3 a . (4a3 a) f (a) 4 Ta có: 2bz 3cy 3cx az ay 2bx a 2b 3c 2bzx 3xcy 3ycx yaz azy 2zbx . ax 2by 3cz 2bzx 3xcy 3ycx yaz azy 2zbx 0 1,5 ax 2by 3cz
3. Suy ra: ay 2bx x y 0 ay 2bx hay 3c a 2b 3cx az x z 0 az 3cx hay 2b a 3c x y z Vậy: . 1,5 a 2b 3c 5 K N O Q M A I B H C a Xét AMC và ABN có: 1,5 AM = AB ( ABM cân tại A) AC = AN ( ACN cân tại A) M· AC B· AN 900 B· AC Suy ra AMC = ABN (c-g-c) b Gọi I là giao điểm của BN và CM; 2,0 Ta có: AMC = ABN A· NB A· CM Xét tam giác CIN có: I·CN I·NC I·CA A· CN I·NC A· CM A· CN I·NC A· NB A· CN I·NC A· CN A· NC 900 ( ABM vuông cân tại A) Suy ra : C· IN 900 hay BN  CM c Gọi O là giao điểm của MN và AH; kẻ NK  AH; MQ AH. Ta có: K· NA K· AN 900 ( AKN vuông) H· AC K· AN 900 (C· AN 900 ) Suy ra: K· NA H· AC 1,0 Xét AKN và CHA có:
4. A· KN C· HA 900 K· NA H· AC AN = AC ( ACN cân tại A) Suy ra AKN = CHA (ch-gn) Suy ra AH = KN (hai cạnh tương ứng) Tương tự MQA = AHB (ch-gn) Suy ra AH = MQ (hai cạnh tương ứng) 1,5 Xét MQO và NKO có: M· QO N· KO 900 M· OQ N· OK (đối đỉnh) MQ = KN = AH Suy ra MQO = NKO (cgv –gn) Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng) 1,0 Hay O là trung điểm của MN vậy AH đi qua trung điểm của MN 6 xy 2x y 5 1,0 Hay: x 1 y 2 3 Vì Ư(3) = {-3; -1; 1; 3} nên: x 1 -3 -1 1 3 y 2 -1 -3 3 1 x -4 0 2 4 y -3 -5 1 -1 Học sinh làm cách khác đúng vẫn ghi điểm tối đa. Hình vẽ phải tương đồng với chứng minh, nều không sẽ không tính điểm.